高中数学高考课后限时集训26 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 作业
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这是一份高中数学高考课后限时集训26 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 作业,共9页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用建议用时:45分钟一、选择题1.函数y=sin(2x-)在区间[-,π]上的简图是( )A BC DA [令x=0,得y=sin(-)=-,排除B、D.由f(-)=0,f()=0,排除C,故选A.]2.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f()的值是( )A.- B.C.1 D.D [由题意可知该函数的周期为,∴=,ω=2,f(x)=tan 2x.∴f()=tan =.]3.(2019·潍坊模拟)函数y=sin 2x-cos 2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的值为( )A. B.C. D.B [由题意知y=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),其图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)=2sin(2x-2φ-)的图象,因为g(x)为偶函数,所以2φ+=+kπ,k∈Z,所以φ=+,k∈Z,又因为φ∈(0,),所以φ=.]4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示,则φ的值为( )A.- B.C.- D.B [由题意,得=-(-)=,所以T=π,由T=,得ω=2,由图可知A=1,所以f(x)=sin(2x+φ).又因为f()=sin(+φ)=0,-<φ<,所以φ=.]5.(2019·武汉调研)函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,给出以下结论:①f(x)的最小正周期为2;②f(x)图象的一条对称轴为直线x=-;③f(x)在(2k-,2k+),k∈Z上是减函数;④f(x)的最大值为A.则正确结论的个数为( )A.1 B.2C.3 D.4B [由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×(-)=2,故①正确;因为函数f(x)的图象过点(,0)和(,0),所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=(+)+=+k(k∈Z),故直线x=-不是函数f(x)图象的对称轴,故②不正确;由图可知,当-+kT≤x≤++kT(k∈Z),即2k-≤x≤2k+(k∈Z)时,f(x)是减函数,故③正确;若A>0,则最大值是A,若A<0,则最大值是-A,故④不正确.综上知正确结论的个数为2.]二、填空题6.将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为f(x)=________.2sin(2x-) [函数y=2sin(2x+)的周期为π,将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期即个单位长度,所得函数为y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-).]7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则y=f(x+)取得最小值时x的集合为________. [根据所给图象,周期T=4×(-)=π,故π=,∴ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),另外图象经过点(,0),代入有2×+φ=π+2kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,∴f(x)=sin(2x-),∴f(x+)=sin(2x+),当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f(x+)取得最小值.]8.已知f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=________. [依题意,x==时,y有最小值,∴sin=-1,∴ω+=2kπ+(k∈Z).∴ω=8k+(k∈Z),因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,所以-≤,即ω≤12,令k=0,得ω=.]三、解答题9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,-<φ<0)的最小正周期为π,且f()=.(1)求ω和φ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象.[解] (1)因为T==π,所以ω=2,又因为f()=cos(2×+φ)=cos(+φ)=-sin φ=且-<φ<0,所以φ=-.(2)由(1)知f(x)=cos(2x-).列表:2x--0πx0πf(x)10-10描点,连线,可得函数f(x)在[0,π]上的图象如图所示.10.(2019·北京市东城区二模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,求m的最大值.[解] (1)由图象可知,A=2.因为|π-|=(T为最小正周期),所以T=π.由π=,解得ω=2.又函数f(x)的图象经过点(,2),所以2sin(2×+φ)=2,解得φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<,所以φ=.所以f(x)=2sin(2x+).(2)法一:因为x∈[0,m],所以2x+∈[,2m+].当2x+∈[,],即x∈[0,)时,f(x)单调递增;所以此时f(x)≥f(0)=1,符合题意;当2x+∈[,],即x∈[,]时,f(x)单调递减,所以f(x)≥f()=1,符合题意;当2x+∈(,]时,即x∈(,]时,f(x)单调递减,所以f(x)<f()=1,不符合题意.综上,若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,则必有0<m≤,所以m的最大值是.法二:画出函数f(x)=2sin(2x+)的图象,如图所示,由图可知,函数f(x)在[-,]上单调递增,在[,]上单调递减,且f(0)=f()=1,所以0<m≤.所以m的最大值为.1.将函数f(x)=tan(ωx+)(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合,则ω=( )A.9 B.6C.4 D.8B [函数f(x)=tan(ωx+)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=tan[ω(x-)+]=tan(ωx-+),∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合,∴-+=+kπ,k∈Z,解得ω=-6k,k∈Z.又∵0<ω<10,∴ω=6.]2.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ).则下列叙述错误的是( )A.R=6,ω=,φ=-B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)递减D.当t=20时,|PA|=6C [由题意,R==6,T=60=,所以ω=,t=0时,点A(3,-3)代入可得-3=6sin φ,因为|φ|<,所以φ=-,故A正确;f(t)=6sin,当t∈[35,55]时,t-∈,所以点P到x轴的距离的最大值为6,B正确;当t∈[10,25]时,t-∈,函数y=f(t)先增后减,C不正确;当t=20时,t-=,P的纵坐标为6,|PA|==6,D正确.故选C.]3.(2019·长春模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________. [f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+),因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤,则ω2≤,即ω2=,所以ω=.]4.已知函数f(x)=2sin(2ωx+)(ω>0).(1)若点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,且ω∈(0,1),求函数f(x)在[0,]上的值域;(2)若函数f(x)在[,]上单调递增,求实数ω的取值范围.[解] (1)由点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,得ω·+=kπ,k∈Z,∴ω=(k-),k∈Z.∵ω∈(0,1),∴ω=,∴f(x)=2sin(2ωx+)=2sin(x+).∵x∈[0,],∴x+∈[,],∴sin(x+)∈[-,1].故函数f(x)在[0,]上的值域为[-1,2].(2)令-+2kπ≤2ωx+≤+2kπ,k∈Z,解得-≤x≤+,k∈Z.∵函数f(x)在[,]上单调递增,∴∃k0∈Z,使[,]⊆[-,+],∴即又-≤·,∴0<ω≤,∴即-<k0≤,∴k0=0.∴0<ω≤,即实数ω的取值范围为(0,].已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+b+1.(1)若函数f(x)的图象关于直线x=对称,且ω∈[0,3],求函数f(x)的单调递增区间;(2)在(1)的条件下,当x∈[0,]时,函数f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围.[解] (1)函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+b+1=sin 2ωx++b+1=sin(2ωx+)++b.因为函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以2ω·+=kπ+,k∈Z,且ω∈[0,3],所以ω=1.由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)由(1)知f(x)=sin(2x+)++b.因为x∈[0,],所以2x+∈[,].当2x+∈[,],即x∈[0,]时,函数f(x)单调递增;当2x+∈[,],即x∈[,]时,函数f(x)单调递减.又f(0)=f(),所以当f()>0≥f()或f()=0时,函数f(x)有且只有一个零点,即sin ≤-b-<sin 或1++b=0,所以b∈(-2,]∪.
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