考向19等差数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

这是一份考向19等差数列及其前n项和（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版），共30页。试卷主要包含了记为等差数列的前项和，记为数列的前项和，记为数列的前项和，等内容，欢迎下载使用。

考向19 等差数列及其前n项和

1.（2022年乙卷文科第13题）记为等差数列的前项和.若，则公差　 　．
【答案】2
【解析】因为，所以，即，所以.
2.（2022年北京卷第6题） 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
3.（2022新课标1卷第17题） 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求得通项公式；
（2）证明：．
【解析】（1），所以，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以．
当时，，
所以，即（）；
累积法可得：（），又满足该式，
所以得通项公式为．
（2）

．
4.（2022新课标2卷第17题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且
（1）证明：；
（2）求集合中元素的个数．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【解析】（1）设等差数列公差为
由，知，故
由，知，
故；故，整理得，得证．
（2）由（1）知，由知：
即，即，
因为，故，解得
故集合中元素的个数为9个．
5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记为数列的前项和.已知.
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值.
【答案】（1）略；（2）
【解析】（1）由于，变形为，记为①式，
又，记为②式，
①-②可得
即，所以是等差数列；
（2）由题意可知，即，解得，所以
，其中，
则的最小值为.
6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列的各项为正数，记为的前项和，从下面①②③中选出两个条件，证明另一个条件成立．
①数列为等差数列；②数列为等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】见解析．
【解析】一、选择条件①③
已知为等差数列，，设公差为，则，即
因为，则
所以数列为等差数列
二、选择条件①②
已知为等差数列，数列为等差数列，设公差为
则，
若数列为等差数列，则，所以
三、选择条件②③
已知数列为等差数列，设公差为
则，即
则
则，
所以为等差数列
7.（2021年全国一卷第19题）记为数列的前项和，
为数列的前项积.已知.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式.

【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）当时，，易得.
当时，，代入消去得，，化简得，
是以为首项，为公差的等差数列.
（2）易得.由（1）可得，由可得.
当时，，显然不满足该式；
.
8.（2021年新高考2卷第17题）记是公差不为0的等差数列的前项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知：即：
故所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知
又即



1.等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．　
2.等差数列的判定与证明方法
（1）定义法：如果一个数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{an}为等差数列；
（2）等差中项法：如果一个数列{an}对任意的正整数n都满足2an+1=an+an+2，那么可以判断{an}为等差数列；
（3）通项公式法：如果一个数列{an}的通项公式满足an=pn+q（p，q为常数）的形式，那么可以得出{an}是首项为p+q，公差为p的等差数列;
（4）前n项和公式法:如果一个数列{an}的前n项和公式满足Sn=An2+Bn（A，B为常数）的形式，那么可以得出数列{an}是首项为A+B，公差为2A的等差数列.

1．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．
(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.
2．两个常用结论
(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
②若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.


1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d＝0时，an为常数．
2．注意利用“an－an－1＝d”时加上条件“n≥2”．


1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S4＝14，则S6等于(　　)
A．32　　 B．39 C．42 D．45
2．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝(　　)
A．18　　 B．16 C．14 D．12
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)
A．13 B．49 C．35 D．63
5.．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4＜S3 B．S4＝S3 C．S4＞S1 D．S4＝S1
6.在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝(　　)
A．－　　 B．－3 C．－6 D．2
7.已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　)
A．100 B．120 C．390 D．540
8.已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．40
9.(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
10．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有(　　)
A．a10＝0 B．S10最小 C．S7＝S12 D．S20＝0
【答案】AC
11．已知数列{an}(n∈N＋)是等差数列，Sn是其前n项和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
12．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N＋)，且a1＝2，则a20＝________．
13．若数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，a＝anan＋2＋t，t为常数，且2a3＝a2＋a4.
(1)求的值；
(2)求证：数列{an}为等差数列．
14. 已知数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且满足an＝(n≥2)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．

一、单选题
1．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（    ）
（参考数据：）

A． B． C． D．
2．（2022·河北·模拟预测）有一道民间源自于《孙子算法》的题目，筐内鸡蛋若干，三三数之余一，五五数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（    ）
A．184 B．186 C．187 D．188
3．（2022·上海杨浦·二模）数列{}为等差数列，且公差，若，，也是等差数列，则其公差为（     ）
A．1gd B．1g2d C．lg D．1g
4．（2022·贵州·模拟预测（理））十七世纪法国数学家费马猜想形如“（）”是素数，我们称为“费马数”．设，，，数列与的前n项和分别为与，则下列不等关系一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
5．（2022·陕西西安·三模（文））小金是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读莫言的两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（    ）
A．第23天 B．第24天 C．第25天 D．第26天
6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
7．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，下列条件，能使得（m，n）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（    ）
A．成等差数列 B．成等比数列
C．成等差数列 D．成等比数列
8．（2022·广西广西·一模（文））北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则（    ）

A．189 B．252 C．324 D．405

二、多选题
9．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设，正项数列满足，下列说法正确的有（    ）
A． 为中的最小项
B．为中的最大项
C．存在，使得成等差数列
D．存在，使得成等差数列
10．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（    ）
A．和均为数列中的项
B．数列为等差数列
C．仅有有限个整数使得成立
D．记数列的前项和为，则恒成立

三、填空题
11．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知为单调递减的等差数列的前n项和，若数列前n项和，则下列结论中正确的有___________．（填写序号）
①；②；③；④
12．（2021·上海杨浦·一模）等差数列满足：①，；②在区间中的项恰好比区间中的项少2项，则数列的通项公式为___________.
13．（2021·浙江绍兴·三模）如图，一个幻方，要求包含到的所有整数，且每一行、每一列及两个主对角线上的整数之和都相等.早在世纪中国古代数学家杨辉就作出了的幻方，那么幻方的每一行上整数之和为______.

14．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：










①这8个数列有可能均为等差数列；
②这8个数列中最多有3个等比数列；
③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；
④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列.
其中所有正确结论的序号是________.

四、解答题
15．（2022·上海崇明·二模）已知集合 （Z是整数集，是大于3的正整数）．若含有项的数列满足：任意的，都有，且当时有，当时有或，则称该数列为数列．
(1)写出所有满足且的数列；
(2)若数列为数列，证明：不可能是等差数列；
(3)已知含有100项的数列满足是公差为等差数列，求所有可能的值
16．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．
(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．


1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石） （ ）
A．块 B．块 C．块 D．块
2．（2020浙江7）已知等差数列的前项和，公差．记，下列等式不可能成立的是 （ ）
A． B． C． D．
3．（2019•新课标Ⅰ，理9）记为等差数列的前项和．已知，，则　　
A． B． C． D．
4．（2018•新课标Ⅰ，理4）记为等差数列的前项和．若，，则　　
A． B． C．10 D．12
5．（2017•新课标Ⅰ，理4）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为　　
A． B． C．3 D．8
7．（2016•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列前9项的和为27，，则　　
A．100 B．99 C．98 D．97
8．（2017浙江）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是
“”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2020北京8）在等差数列{}中，，，记，则数列{} （ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
10．（2020上海7）已知等差数列的首项，且满足，则 ．
11．（2019•新课标Ⅲ，理14）记为等差数列的前项和，若，，则　　．
12．（2019江苏8）已知数列是等差数列，是其前n项和．若，则的值是 ．
13．（2019北京理10）设等差数列的前n项和为，若，则 ________ ． 的最小值为_______．
14．(2018北京)设是等差数列，且，，则的通项公式为___．
15．(2018上海)记等差数列的前几项和为，若，，则= ．
16．（2019•新课标Ⅰ，文18）记为等差数列的前项和，已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
17．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
18．（2016•新课标Ⅱ，文17）等差数列中，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．


1．【答案】B
【解析】设公差为d，由题意得
解得所以S6＝6a1＋d＝39.
2．【答案】C
【解析】因为d＝＝2，Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)．
3．【答案】C
【解析】设{an}的公差为d，由可得解得所以a10＝－4＋9×2＝14，选C.
4．【答案】B
【解析】由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，依题意得，d＝＝＝2，则an＝a2＋(n－2)d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13，所以S7＝×7＝×7＝49.
5.【答案】B
【解析】数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则数列{an}是等差数列，
设等差数列{an}的公差为d.
因为a2＝－6，a6＝6，
所以4d＝a6－a2＝12，即d＝3.
所以an＝－6＋3(n－2)＝3n－12，
所以S1＝a1＝－9，S3＝a1＋a2＋a3＝－9－6－3＝－18，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝－9－6－3＋0＝－18，
所以S4＜S1，S3＝S4.
6.【答案】A
【解析】因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝－6，a2a14＝2，由等差数列的性质可知，a2＋a14＝2a8＝－6，所以a8＝－3，则＝，故选A.
7.【答案】A
【解析】设Sn为等差数列{an}的前n项和，则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，
又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，
所以2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.
8.【答案】B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，项数为n，前n项和为Sn，因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.故选B.
9.【答案】ABD
【解析】S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，所以S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5，由a7＝0，a6＞0知S6，S7是Sn中的最大值．从而ABD均正确．
10．【答案】AC
【解析】根据题意，数列{an}是等差数列，若a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，变形可得a1＝－9d，又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，则有a10＝0，故A一定正确；不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由Sn＝na1＋＝－9nd＋＝×(n2－19n)，则有S7＝S12，故C一定正确；则S20＝20a1＋d＝－180d＋190d＝10d，因为d≠0，所以S20≠0，则D不正确．
11．【答案】16
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)·(a1＋4d)＋a1＋7d＝a＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.
12．【答案】40
【解析】设an＝2＋(n－1)d，所以＝＝，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d－2)2＝0，所以d＝2.所以a20＝2＋(20－1)×2＝40.
13．【解析】(1)因为对任意n∈N*，a＝anan＋2＋t，
令n＝2，得a＝a2a4＋t.①
令n＝1，得a＝a1a3＋t.②
①－②得a－a＝a2a4－a1a3，即a3(a3＋a1)＝a2(a2＋a4)，
所以＝＝2.
(2)证明：a＝anan＋2＋t，a＝an＋1an＋3＋t，
两式相减得＝，
所以数列为常数列，所以＝＝2，
所以an＋an＋2＝2an＋1，
所以数列{an}为等差数列．
14. 【解析】(1)证明：当n≥2时，Sn－Sn－1＝.
整理，得Sn－1－Sn＝2SnSn－1.
两边同时除以SnSn－1，得－＝2.
又＝＝4，所以是以4为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)可得数列的通项公式为＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，所以Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝.
当n＝1时，a1＝，不适合上式．
所以an＝

1．【答案】D
【解析】依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项，
标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，
因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为.
故选：D
2．【答案】C
【解析】设筐内鸡蛋为个，则，
对于A，，解得，不合题意，错误；
对于B，，解得，不合题意，错误；
对于D，，解得，不合题意，错误；
对于C，，解得，，解得，符合题意，正确.
故选：C.
3．【答案】D
【解析】因为，，是等差数列，
所以，
所以，又因为且公差，
所以，可得，
所以公差，
故选：D.
4．【答案】D
【解析】因为（），
所以，
所以，，
当时，，所以AB错误，
因为，
所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，是以2为公差，2为首项的等差数列，
所以，，
当时，，当时，，
当时，，由此可得当时，，下面用数学归纳法证明
当时，显然成立，
假设当（）时，成立，即，则
当时，
，即，
综上，当时，，所以，所以C错误，D正确，
故选：D
5．【答案】B
【解析】根据题意，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10，则，整理得.
设，易知f（n）为递增数列，因为，所以他恰好读完这两本书的时间为第24天.
故选：B.
6．【答案】D
【解析】若，则
可得：，故选项A错误；
若，则
可得：，故选项B错误；
若，则
可得：，故选项C错误；
不妨设的首项为，公差为，则有：


则有：，故选项D正确
故选：D
7．【答案】C
【解析】对A，若成等差数列，则，即，整理可得，则当时，的轨迹为圆，时，的轨迹不存在，故A错误；
对B，若成等比数列，则，即，整理可得，方程不能表示双曲线，故B错误；
对C，若成等差数列，则，即，整理可得，当且时，方程化为，此时表示实轴和虚轴相等的双曲线，故C正确；
对D，若成等比数列，则，即，整理可得，
当，且时，由得，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D错误.
8．【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
由，，得，解得：，
所以.
故选：C.

9．【答案】AB
【解析】由可得
令，
当递增；
当递减
且
是最小的项；
所以A正确
令

在区间内递减，即；即
即，
所以，综上所述，是最大的项，所以B正确，
由于 是最小的项，是最大的项，则不可能使得成等差数列，故C错误；
因为，所以，则，
，所以不存在成等差数列，故D错误
故选：AB
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
10．【答案】BD
【解析】对于A选项，分析可知当为奇数时，为奇数，
当为偶数时，为偶数，
令可得，不合乎题意，
令可得，合乎题意，
所以，不是数列中的项，是数列中的项，A错；
对于B选项，因为，
所以，数列是公差为的等差数列，B对；
对于C选项，若为偶数，由可得，矛盾，
若为奇数，由可得，即，解得，
所有满足条件的奇数都合乎题意，
所以，有无限个整数使得成立，C错；
对于D选项，为偶数，则，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，D对.
故选：BD.

11．【答案】②④
【解析】设等差数列的公差为，
则，
故
，
所以，
则，解得或（舍去），所以，
故，故①错误；，故②正确；
，故③错误；
，，则当或时，取得最大值，
所以，故④正确.
故选：②④.
12．【答案】
【解析】由，得，，因此在区间上最多有5项，又在区间中的项恰好比区间中的项少2项，
因此数列在上的项数可能为，相应地在上项数分别为．
（1）若在上的项数可能为1，设是数列在区间的项，在上项数为3，
由得，由得，所以，
这样是数列中的连续三项，是等差数列，因此也是中连续三项（否则数列中有两项在上），但，矛盾；
（2）若在上的项数可能为2，设是数列在区间的最小项，在上项数为4，
由得，由得，所以，
这样是数列中的连续四项，是等差数列，因此也是中连续四项，（否则数列中有三项在上），又，
所以，，满足题意，；
（3）若在上的项数可能为3，设是数列在区间的最小项，在上项数为5，
由得，由得，所以，
这样是数列中的连续五项，是等差数列，因此也是中连续五项（否则数列中有四项在上），但，矛盾；
综上所述，．
故答案为：．
13．【答案】
【解析】因为，
因为幻方的每一行上整数之和相等，共行，所以每行的整数之和为.
故答案为：.
14．【答案】①②③
【解析】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.

②. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9.
由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上.
所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确

③. 若三个数成等差数列，则.
根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数相同. 则只能是
由
则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为时满足条件;
中心数为其他数时，不满足条件.故③正确.
④. 若第一行为；第一列为，满足第一行、第一列均为等比数列.
第二行为，第二列为，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故④不正确
故答案为：①②③

15．【解析】(1)由题意可得满足且的数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..
(2)假设是等差数列，公差为，当时，由题意，或，
此时，
所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列
当时，由题意，或，此时
所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列
综上所述，不可能是等差数列
(3)由题意，，
当时，因为，所以，与题意不符；
当时，记，
当时，，
所以，
所以中的最小项，所以，与题意不符，
当时，，
又由题意，（*），其中，
且，
所以，所以 ，
所以，与不符；
当时，取 ，此时的数列满足题意，
综上所述，.
16．【解析】（1）甲的基础工资收入总量元乙的基础工资收入总量元
（2），，，设，即，解得所以当时，递增，当时，递减又当，即，解得，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资．       ．


1．【答案】C
【思路导引】第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到．
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以，故选C．
2．【答案】B
【解析】A．由等差数列的性质可知，成立；
B．，，，
若，则，
即，这与已知矛盾，故B不成立；
C． ，整理为：，故C成立；
D．，当时，即，整理为，即，，方程有解，故D成立．综上可知，等式不可能成立的是B，故选B．
3．【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由，，得，，
，，故选．
4．【答案】B
【解析】为等差数列的前项和，，，，把，代入得，，故选．
5．【答案】C
【解析】由题知，，解得，，故选．
6．【答案】A
【解析】等差数列的首项为1，公差不为0．，，成等比数列，，
，且，，解得，前6项的和为，故选．
7．【答案】C
【解析】由题知，=，∴，又=，，，故选
8．【答案】C
【解析】∵，当，可得；当，可得．所以“”是“” 充分必要条件，选C．
9．【答案】A
【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5使，an＜0，n≥6时，an＞0，所以n=4时，Tn＞0，并且取最大值；n=5时，Tn＜0；n≥6时，Tn＜0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无最小项．故选A．
10．【答案】
【解析】由条件可知，．
故答案为： ．
11．【答案】4
【解析】设等差数列的公差为，则由，可得，，
．
12．【答案】16
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以．
13．【答案】0，-10
【解析】由题意得，，解得，所以．
因为是一个递增数列，且，所以的最小值为或，．
14．【答案】14
【解析】解法一 设的公差为，首项为，则，
解得，所以．
解法二 ，所以．故，故．
15．【答案】
【解析】设等差数列的公差为，，∴，∴．
16．【解析】（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则，变形可得，即，
若，则，
则，
（2）若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由，即，则有，即，则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：，．
17．【解析】（1）等差数列中，，，
，，解得，，
；
（2），，，
，
当时，前项的和取得最小值为．
18．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，
，．，解得：，；
（Ⅱ），，，，．
故数列的前10项和．