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2023年陕西省西安市雁塔区 西安高新第一中学中考数学二模试卷(含答案)
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这是一份2023年陕西省西安市雁塔区 西安高新第一中学中考数学二模试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省西安市雁塔区高新一中2023年中考数学二模试卷（解析版）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
1．﹣2023的倒数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（ ）
A．27° B．42° C．45° D．70°
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x3＝x6 B．3x2÷2x＝x
C．（x2）3＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
4．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，sinC＝，则线段AB的长为（ ）
A．10 B．4 C．4 D．2
5．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（ ）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC
C．∠A＝90° D．点D为BC的中点
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：2mx2﹣12mx+18m＝ ．
10．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则﹣a﹣b 0（填“＞”，“＜”或“＝”）．
11．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．
12．已知直线y＝﹣2x+8与双曲线相交于点（m，n），则的值等于 ．
13．如图，正方形ABCD边长为2，F为对角线AC上的一个动点，过C作AC的垂线并截取CE＝AF，连结EF，△ECF周长的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
17．（5分）如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上找一点D，使△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中：
（1）将△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，画出点A的对应点A1的坐标 ；并在坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
20．（5分）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
21．（6分）某学校为了了解本校1800名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 图①中m的值为 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 小时，中位数是 小时；
（3）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．
22．（7分）长安塔是2011西安世园会的标志，也是园区的观景塔，游人可登塔俯瞰，全园美景尽收眼底．该塔的设计既体现了中国建筑文化的内涵，又彰显出时尚现代的都市风貌，是生态建筑的实践和示范，建成后的目标是成为提升西安城市建筑文化内涵的标志性建筑．小华是一位数学受好者，想利用所学的知识测量长安塔的高度，阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得塔尖A的仰角为42°，然后沿着DM方向走了60米到达点F处，此时塔的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．请你根据以上信息，计算塔AB的高度．（结果精确到1米；参考数据：tan42°≈0.9）
23．（7分）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．
原料成本（元/件）
生产提成（元/件）
销售单价（元/件）
“冰墩墩”
32
5
45
“雪容融”
28
6
40
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？
24．（8分）如图，⊙O与△ABC的边AB相切于点E，点O在边BC上，AB＝AC，AO交⊙O于点F，且AO⊥BC于点O．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知点H为⊙O上一点，，，⊙O的半径为1，求HF的长．
25．（8分）如图，顶点为M的抛物线与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L1顶点M的坐标；
（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴另一交点为E，若△EAM为直角三角形，请求出满足条件的新抛物线L2的表达式．
26．（10分）问题探究：
（1）如图①，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，，则△ADE与△ABC的高之比为 ；
（2）如图②，在△ABC中，BC＝10，S△ABC＝50，矩形DEFG的顶点D，E分别在边AB、AC上，顶点F、G在边BC上，若设DG＝x，求当x取何值时，矩形DEFG面积最大．
问题解决：
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地ABCD计划改造公园，经测量AB＝50m，BC＝100m，CD＝72m，且∠B＝∠C＝60°，按设计要求，要在四边形公园ABCD内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
1．﹣2023的倒数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】根据倒数的定义解答即可．
【解答】解：﹣2023的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】此题考查的是倒数的定义，乘积是1的两数互为倒数．
2．如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（ ）
A．27° B．42° C．45° D．70°
【分析】由平行线的性质可得∠ABE＝∠C＝27°，再由三角形外角性质可得∠AEC＝∠A+∠ABE即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝27°，
∴∠ABE＝∠C＝27°，
∵∠A＝15°，
∴∠AEC＝∠A+∠ABE＝42°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质，
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x3＝x6 B．3x2÷2x＝x
C．（x2）3＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则及完全平方公式进行计算．
【解答】解：A、由同底数幂的乘法法则可知x3•x3＝x6，故本选项正确；
B、由同底数幂的除法法则可知3x2÷2x＝x，故本选项错误；
C、由幂的乘方法则可知（x2）3＝x6，故本选项错误；
D、由完全平方公式可知（x+y）2＝x2+y2+2xy，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则及完全平方公式，是需要牢记的内容．
4．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，sinC＝，则线段AB的长为（ ）
A．10 B．4 C．4 D．2
【分析】由同角的余角相等得出∠BAD＝∠C，再由锐角三角函数定义得sin∠BAD＝＝sinC＝，即可得出答案．
【解答】解：∵∠CAB＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴sin∠BAD＝＝sinC＝，
∴AB＝BD＝×2＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形以及直角三角形的性质等知识，由直角三角形的性质证出∠ABD＝∠C是解题的关键．
5．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（ ）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC
C．∠A＝90° D．点D为BC的中点
【分析】先证四边形AFDE是平行四边形，然后逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
如图，连接AD，
∴三角形ADE和三角形ADF的面积相等，
∴当点D在∠BAC的平分线上，点D到AE，AF的距离相等，
∴AF＝AE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
B，D不能得平行四边形AFDE是菱形；
C能得平行四边形AFDE是矩形；
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先将点B代入y＝﹣x+4，求出b，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点A（﹣1，b）代入y＝x+4，
得b＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∴方程组的解为，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】先根据AB是⊙O的直径，得出∠ADB＝90°，可得出∠A的度数，再由圆内接四边形对角互补即可得答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝140°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角度数的一半是解答此题的关键．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④；
【解答】解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，
可得OA＝5，OB＝1，
∴点A（﹣5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∵a+b+c＝0，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+4c＝﹣11a，
∵a＞0，
∴9a+4c＜0，故③正确；
④当x＝﹣2时，函数有最小值y＝4a﹣2b+c，
由am2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，
∴若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：2mx2﹣12mx+18m＝ 2m（x﹣3）2 ．
【分析】观察代数式的特点，先提取公因式，然后再用公式法．
【解答】解：2mx2﹣12mx+18m＝2m（x2﹣6x+9）＝2m（x﹣3）2．
故答案为：2m（x﹣3）2．
【点评】本题考查因式分解的定义以及因式分解的方法，需注意的是因式分解需将代数式分解彻底．
10．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则﹣a﹣b ＜ 0（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和大小，根据有理数的减法法则来解答即可．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴﹣a﹣b＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数与数轴，有理数的减法法则，根据数轴得出a、b的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键．
11．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 （10﹣10） 米．
【分析】由黄金分割点的定义得AC＝AB，再代入AB的长计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝20米，
∴AC＝AB＝×20＝（10﹣10）（米），
故答案为：（10﹣10）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
12．已知直线y＝﹣2x+8与双曲线相交于点（m，n），则的值等于 ﹣2 ．
【分析】把点（m，n）分别代入直线y＝﹣2x+8与双曲线，整理后整体代入即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+8与双曲线相交于点（m，n），
∴n＝﹣2m+8，n＝﹣，
∴n+2m＝8，mn＝﹣4，
则＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道交点坐标符合函数解析式是解题的关键．
13．如图，正方形ABCD边长为2，F为对角线AC上的一个动点，过C作AC的垂线并截取CE＝AF，连结EF，△ECF周长的最小值为 ．
【分析】过F作FG⊥AC交AD于G，连结EG、CG，证四边形ECFG为矩形，得GC＝EF，据此知C△ECF＝EC+CF+EF＝AF+CF+GC＝AC+CG，再求出，当CG⊥AD时，CG取得最小值，此时CG＝CD＝2，从而得出答案．
【解答】解：如图，过F作FG⊥AC交AD于G，连结EG、CG，
∵∠DAC＝45°，∠GFA＝90°，
∴∠AGF＝45°，
∴GF＝AF，
∵EC＝AF，
∴EC＝GF，
∵EC⊥AC，FG⊥AC，
∴EC∥GF，
∴四边形ECFG为平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为矩形，
∴GC＝EF，
∴C△ECF＝EC+CF+EF＝AF+CF+GC＝AC+CG，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，
∴，
当CG⊥AD时，CG取得最小值此时CG＝CD＝2，
∴△ECF周长的最小值，
故答案为：2+2．
【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题及矩形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质．
三、解答题（共13小题，计81分）
14．（5分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂和绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣3+3×+2﹣
＝2﹣3++2﹣
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1，
由x＜，得：x＜4，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：﹣1＝
两边都乘（x+2）（x﹣2），得
x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝1，
解得x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，（x+2）（x﹣2）＝﹣≠0，
∴原分式方程的解为x＝﹣．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解题时注意：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应检验．
17．（5分）如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上找一点D，使△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】以CA为角的一边，在三角形的内部作∠ACD＝∠B，射线CD交AB于点D，△ACD即为所求．
【解答】解：如图，△ACD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（5分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中：
（1）将△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，画出点A的对应点A1的坐标 （0，1） ；并在坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（0，1）；
故答案为：（0，1）；
（2）△ABC的面积＝5×4﹣×5×3﹣×1×3﹣×4×2＝7．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．（5分）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图所示，
（1）共有16种等可能的结果数；
（2）这个游戏对双方公平，
理由是：
∵x+y为奇数的结果数为8，x+y为偶数的结果数为8，
∴甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，
∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率，
∴这个游戏对双方公平．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21．（6分）某学校为了了解本校1800名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 图①中m的值为 25 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 5 小时，中位数是 6 小时；
（3）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．
【分析】（1）利用课外阅读时间为5小时的人数除以所占百分比可得本次接受随机抽样调查的学生人数，然后再求m的值即可；
（2）根据众数和中位数定义可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法可得答案．
【解答】解：（1）接受随机抽样调查的学生人数：12÷30%＝40（人），
m%＝10÷40×100%＝25%，
则m＝25，
故答案为：40；25；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是5小时，中位数是6小时，
故答案为：5；6；
（3）1800×＝540（人），
答：该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数为540人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（7分）长安塔是2011西安世园会的标志，也是园区的观景塔，游人可登塔俯瞰，全园美景尽收眼底．该塔的设计既体现了中国建筑文化的内涵，又彰显出时尚现代的都市风貌，是生态建筑的实践和示范，建成后的目标是成为提升西安城市建筑文化内涵的标志性建筑．小华是一位数学受好者，想利用所学的知识测量长安塔的高度，阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得塔尖A的仰角为42°，然后沿着DM方向走了60米到达点F处，此时塔的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．请你根据以上信息，计算塔AB的高度．（结果精确到1米；参考数据：tan42°≈0.9）
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，可证四边形HBDC是矩形，可得BD＝CH，BH＝CD，再证△EGF∽△AGB，根据相似三角形的性质可得，即，求出AH的长进一步可得塔AB的高度．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
则∠AHC＝∠BHC＝90°，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴四边形HBDC是矩形，
∴BD＝CH，BH＝CD，
由题意知∠ACH＝42°，
∴tan42°＝，
∴CH＝，
∴DB＝，
∵DF＝60米，FG＝3米，
∴BG＝（+63）米，
∵AB⊥BG，EF⊥BG，
∴∠ABD＝∠EFG＝90°，
又∵EGF＝∠AGB，
∴△EGF∽△AGB，
∴，
∵CD＝0.8米，EF＝1.7米，FG＝3米，
∴，
∵tan42°≈0.9，
∴AH≈94.23米，
∴AB＝AH+BH≈95米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（7分）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．
原料成本（元/件）
生产提成（元/件）
销售单价（元/件）
“冰墩墩”
32
5
45
“雪容融”
28
6
40
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？
【分析】（1）根据总利润＝销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题；
（2）根据该厂每天生产“雪容融”200件，则x＝400，代入（1）中解析式求值即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（45﹣32﹣5）x+（40﹣28﹣6）（600﹣x）＝2x+3600，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x+3600；
（2）由题意得：x＝600﹣200＝400，
∴y＝2x+3600＝2×400+3600＝4400，
答：该厂一天所获得的总利润是4400元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式．
24．（8分）如图，⊙O与△ABC的边AB相切于点E，点O在边BC上，AB＝AC，AO交⊙O于点F，且AO⊥BC于点O．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知点H为⊙O上一点，，，⊙O的半径为1，求HF的长．
【分析】（1）作OK⊥AC，根据角平分线的性质证明K在圆上，即可证明AC是⊙O的切线；
（2）连接OH，通过证明△OEA≌△OKA得出∠EOF＝∠KOF，在Rt△AOE中根据已知条件求出sin∠AOE，再根据，得到∠AOK＝∠KOH，OM⊥FH，M为FH的中点，求出FM即可．
【解答】（1）证明：作OK⊥AC，K为垂足，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC，
∵AB与⊙O相切于点E，
∵OE⊥AB，OK⊥AC，
∴OE＝OK，
∴K在圆上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OH，
由（1）知，∠OEA＝∠OKA，
在Rt△OEA和Rt△OKA中，
，
∴Rt△OEA≌Rt△OKA（HL），
∴∠EOF＝∠KOF，
∴＝，
∵，
∴K为的中点，
设OK与FH相交于点M，
则OM⊥FH，且M为FH的中点，
∵OA＝，OE＝1，
∴AE＝＝，
∴sin∠AOE＝＝，
∴FM＝OF•sin∠FOM＝1×＝，
∴FH＝2FM＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，以及角平分线性质的应用和圆的有关性质，解直角三角形等知识，判断M是FH的中点是解题关键．
25．（8分）如图，顶点为M的抛物线与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L1顶点M的坐标；
（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴另一交点为E，若△EAM为直角三角形，请求出满足条件的新抛物线L2的表达式．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由点A、E、M的坐标得，AM2＝22+42＝20，AE2＝（x﹣3）2，EM2＝（x﹣1）2+16，然后分情况确定点E的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则顶点坐标为（1，4）；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝3或﹣1，即点A（3，0），
设点E（x，0），
由点A、E、M的坐标得，AM2＝22+42＝20，AE2＝（x﹣3）2，EM2＝（x﹣1）2+16，
当AM是斜边时，则20＝（x﹣3）2+（x﹣1）2+16，
解得：x＝3（舍去）或1，
即点E（1，0）；
当AE是斜边时，则（x﹣3）2＝（x﹣1）2+16+20，
解得：x＝﹣7，即点E（﹣7，0）；
当EM是斜边时，则20+（x﹣3）2+（x﹣1）2+16，
解得：x＝3（舍去）；
综上，点E的坐标为（1，0）或（﹣7，0），
∵新抛物线L2经过原点O，且与x轴另一交点为E，
则设抛物线的表达式为：y＝﹣x（x﹣xE），
则抛物线的表达式为：y＝﹣x（x﹣1）＝﹣x2+x或y＝﹣x（x+7）＝﹣x2﹣7x，
即抛物线L2的表达式为：y＝﹣x2+x或y＝﹣x2﹣7x．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
26．（10分）问题探究：
（1）如图①，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，，则△ADE与△ABC的高之比为 ；
（2）如图②，在△ABC中，BC＝10，S△ABC＝50，矩形DEFG的顶点D，E分别在边AB、AC上，顶点F、G在边BC上，若设DG＝x，求当x取何值时，矩形DEFG面积最大．
问题解决：
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地ABCD计划改造公园，经测量AB＝50m，BC＝100m，CD＝72m，且∠B＝∠C＝60°，按设计要求，要在四边形公园ABCD内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号）
【分析】（1）由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案；
（2）由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于x的二次函数关系，即可解决问题；
（3）由二次函数的性质求出矩形PQMN面积的最大值即可解决问题；
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD＝BD，
∴AD：AB＝1：4，
∴△ADE和△ABC的相似比是，
∴△ADE与△ABC的高之比等于相似比是．
故答案为：．
（2）作AN⊥BC于N，交DE于M，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝AM：AN，
∵△ABC的面积＝BC•AN＝50，BC＝10，
∴AN＝10，
∵DG＝x，
∴MN＝x，AM＝10﹣x，
∴DE：10＝（10﹣x）：10，
∴DE＝10﹣x，
∴矩形DEFG的表面积＝DE•DG＝（10﹣x）•x＝﹣（x﹣5）2+25，
∴当x＝5时，矩形DEFG的面积最大；
（3）延长BA，CD交于O，作DH⊥AO于H，
当矩形PQMN的面积最大时，费用最小，
∵PQ∥BC，
∴△OQP是等边三角形，
∴OA＝OB﹣AB＝100﹣50＝50（m），OD＝OC﹣CD＝100﹣72＝28（m），
令PQ＝xm，则OQ＝PQ＝PO＝xm，
∴BQ＝（100﹣x）m，
∵sin∠B＝，
∴QM＝（100﹣x），
∴矩形PQMN的面积＝PQ•MQ＝（100﹣x）x＝﹣（x﹣50）2+1250，
∴矩形PQMN面积的最大值是1250m2，
∵DH＝OD＝14m，
∴△OAD的面积＝OA•DH＝×50×14＝350（m2），
∵△OBC的面积＝BC2＝×1002＝2500（m2），
∴四边形ABCD的面积＝△OBC的面积﹣△OAD的面积＝2500﹣350＝2150（m2），
∴种植花卉的面积＝2150﹣1250＝900（m2），
∴此时绿化改造所需费200×900+80×1250＝280000（元），
∴绿化改造所需费用至少为280000元．
【点评】本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键．
陕西省西安市雁塔区高新一中2023年中考数学二模试卷（解析版）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
1．﹣2023的倒数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（ ）
A．27° B．42° C．45° D．70°
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x3＝x6 B．3x2÷2x＝x
C．（x2）3＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
4．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，sinC＝，则线段AB的长为（ ）
A．10 B．4 C．4 D．2
5．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（ ）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC
C．∠A＝90° D．点D为BC的中点
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：2mx2﹣12mx+18m＝ ．
10．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则﹣a﹣b 0（填“＞”，“＜”或“＝”）．
11．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．
12．已知直线y＝﹣2x+8与双曲线相交于点（m，n），则的值等于 ．
13．如图，正方形ABCD边长为2，F为对角线AC上的一个动点，过C作AC的垂线并截取CE＝AF，连结EF，△ECF周长的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式组：．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
17．（5分）如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上找一点D，使△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中：
（1）将△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，画出点A的对应点A1的坐标 ；并在坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
20．（5分）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
21．（6分）某学校为了了解本校1800名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 图①中m的值为 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 小时，中位数是 小时；
（3）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．
22．（7分）长安塔是2011西安世园会的标志，也是园区的观景塔，游人可登塔俯瞰，全园美景尽收眼底．该塔的设计既体现了中国建筑文化的内涵，又彰显出时尚现代的都市风貌，是生态建筑的实践和示范，建成后的目标是成为提升西安城市建筑文化内涵的标志性建筑．小华是一位数学受好者，想利用所学的知识测量长安塔的高度，阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得塔尖A的仰角为42°，然后沿着DM方向走了60米到达点F处，此时塔的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．请你根据以上信息，计算塔AB的高度．（结果精确到1米；参考数据：tan42°≈0.9）
23．（7分）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．
原料成本（元/件）
生产提成（元/件）
销售单价（元/件）
“冰墩墩”
32
5
45
“雪容融”
28
6
40
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？
24．（8分）如图，⊙O与△ABC的边AB相切于点E，点O在边BC上，AB＝AC，AO交⊙O于点F，且AO⊥BC于点O．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知点H为⊙O上一点，，，⊙O的半径为1，求HF的长．
25．（8分）如图，顶点为M的抛物线与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L1顶点M的坐标；
（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴另一交点为E，若△EAM为直角三角形，请求出满足条件的新抛物线L2的表达式．
26．（10分）问题探究：
（1）如图①，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，，则△ADE与△ABC的高之比为 ；
（2）如图②，在△ABC中，BC＝10，S△ABC＝50，矩形DEFG的顶点D，E分别在边AB、AC上，顶点F、G在边BC上，若设DG＝x，求当x取何值时，矩形DEFG面积最大．
问题解决：
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地ABCD计划改造公园，经测量AB＝50m，BC＝100m，CD＝72m，且∠B＝∠C＝60°，按设计要求，要在四边形公园ABCD内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
1．﹣2023的倒数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】根据倒数的定义解答即可．
【解答】解：﹣2023的倒数是﹣．
故选：D．
【点评】此题考查的是倒数的定义，乘积是1的两数互为倒数．
2．如图，直线AB∥CD，连接BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的大小为（ ）
A．27° B．42° C．45° D．70°
【分析】由平行线的性质可得∠ABE＝∠C＝27°，再由三角形外角性质可得∠AEC＝∠A+∠ABE即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝27°，
∴∠ABE＝∠C＝27°，
∵∠A＝15°，
∴∠AEC＝∠A+∠ABE＝42°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质，
3．下列运算中，正确的是（ ）
A．x3•x3＝x6 B．3x2÷2x＝x
C．（x2）3＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
【分析】分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则及完全平方公式进行计算．
【解答】解：A、由同底数幂的乘法法则可知x3•x3＝x6，故本选项正确；
B、由同底数幂的除法法则可知3x2÷2x＝x，故本选项错误；
C、由幂的乘方法则可知（x2）3＝x6，故本选项错误；
D、由完全平方公式可知（x+y）2＝x2+y2+2xy，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则及完全平方公式，是需要牢记的内容．
4．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，sinC＝，则线段AB的长为（ ）
A．10 B．4 C．4 D．2
【分析】由同角的余角相等得出∠BAD＝∠C，再由锐角三角函数定义得sin∠BAD＝＝sinC＝，即可得出答案．
【解答】解：∵∠CAB＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴sin∠BAD＝＝sinC＝，
∴AB＝BD＝×2＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形以及直角三角形的性质等知识，由直角三角形的性质证出∠ABD＝∠C是解题的关键．
5．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（ ）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC
C．∠A＝90° D．点D为BC的中点
【分析】先证四边形AFDE是平行四边形，然后逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
如图，连接AD，
∴三角形ADE和三角形ADF的面积相等，
∴当点D在∠BAC的平分线上，点D到AE，AF的距离相等，
∴AF＝AE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
B，D不能得平行四边形AFDE是菱形；
C能得平行四边形AFDE是矩形；
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先将点B代入y＝﹣x+4，求出b，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点A（﹣1，b）代入y＝x+4，
得b＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∴方程组的解为，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】先根据AB是⊙O的直径，得出∠ADB＝90°，可得出∠A的度数，再由圆内接四边形对角互补即可得答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝40°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝140°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角度数的一半是解答此题的关键．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④；
【解答】解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，
可得OA＝5，OB＝1，
∴点A（﹣5，0），点B（1，0），
∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣＝﹣2，
∴b＝4a，
∵a+b+c＝0，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+4c＝﹣11a，
∵a＞0，
∴9a+4c＜0，故③正确；
④当x＝﹣2时，函数有最小值y＝4a﹣2b+c，
由am2+bm+c≥4a﹣2b+c，可得am2+bm+2b≥4a，
∴若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：2mx2﹣12mx+18m＝ 2m（x﹣3）2 ．
【分析】观察代数式的特点，先提取公因式，然后再用公式法．
【解答】解：2mx2﹣12mx+18m＝2m（x2﹣6x+9）＝2m（x﹣3）2．
故答案为：2m（x﹣3）2．
【点评】本题考查因式分解的定义以及因式分解的方法，需注意的是因式分解需将代数式分解彻底．
10．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则﹣a﹣b ＜ 0（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】首先根据数轴判断出a、b的符号和大小，根据有理数的减法法则来解答即可．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴﹣a﹣b＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数与数轴，有理数的减法法则，根据数轴得出a、b的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键．
11．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 （10﹣10） 米．
【分析】由黄金分割点的定义得AC＝AB，再代入AB的长计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝20米，
∴AC＝AB＝×20＝（10﹣10）（米），
故答案为：（10﹣10）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
12．已知直线y＝﹣2x+8与双曲线相交于点（m，n），则的值等于 ﹣2 ．
【分析】把点（m，n）分别代入直线y＝﹣2x+8与双曲线，整理后整体代入即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+8与双曲线相交于点（m，n），
∴n＝﹣2m+8，n＝﹣，
∴n+2m＝8，mn＝﹣4，
则＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道交点坐标符合函数解析式是解题的关键．
13．如图，正方形ABCD边长为2，F为对角线AC上的一个动点，过C作AC的垂线并截取CE＝AF，连结EF，△ECF周长的最小值为 ．
【分析】过F作FG⊥AC交AD于G，连结EG、CG，证四边形ECFG为矩形，得GC＝EF，据此知C△ECF＝EC+CF+EF＝AF+CF+GC＝AC+CG，再求出，当CG⊥AD时，CG取得最小值，此时CG＝CD＝2，从而得出答案．
【解答】解：如图，过F作FG⊥AC交AD于G，连结EG、CG，
∵∠DAC＝45°，∠GFA＝90°，
∴∠AGF＝45°，
∴GF＝AF，
∵EC＝AF，
∴EC＝GF，
∵EC⊥AC，FG⊥AC，
∴EC∥GF，
∴四边形ECFG为平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴四边形ECFG为矩形，
∴GC＝EF，
∴C△ECF＝EC+CF+EF＝AF+CF+GC＝AC+CG，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，
∴，
当CG⊥AD时，CG取得最小值此时CG＝CD＝2，
∴△ECF周长的最小值，
故答案为：2+2．
【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题及矩形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质及轴对称的性质．
三、解答题（共13小题，计81分）
14．（5分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂和绝对值的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣3+3×+2﹣
＝2﹣3++2﹣
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1，
由x＜，得：x＜4，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（5分）解方程：﹣1＝．
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：﹣1＝
两边都乘（x+2）（x﹣2），得
x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝1，
解得x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，（x+2）（x﹣2）＝﹣≠0，
∴原分式方程的解为x＝﹣．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解题时注意：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应检验．
17．（5分）如图，在△ABC中，请用尺规作图法，在AB边上找一点D，使△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】以CA为角的一边，在三角形的内部作∠ACD＝∠B，射线CD交AB于点D，△ACD即为所求．
【解答】解：如图，△ACD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（5分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF．
【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中：
（1）将△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，画出点A的对应点A1的坐标 （0，1） ；并在坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（0，1）；
故答案为：（0，1）；
（2）△ABC的面积＝5×4﹣×5×3﹣×1×3﹣×4×2＝7．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．（5分）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若x+y为奇数，则甲获胜；若x+y为偶数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图所示，
（1）共有16种等可能的结果数；
（2）这个游戏对双方公平，
理由是：
∵x+y为奇数的结果数为8，x+y为偶数的结果数为8，
∴甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率＝＝，
∴甲获胜的概率＝乙获胜的概率，
∴这个游戏对双方公平．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21．（6分）某学校为了了解本校1800名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 图①中m的值为 25 ；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是 5 小时，中位数是 6 小时；
（3）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．
【分析】（1）利用课外阅读时间为5小时的人数除以所占百分比可得本次接受随机抽样调查的学生人数，然后再求m的值即可；
（2）根据众数和中位数定义可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法可得答案．
【解答】解：（1）接受随机抽样调查的学生人数：12÷30%＝40（人），
m%＝10÷40×100%＝25%，
则m＝25，
故答案为：40；25；
（2）本次调查获取的样本数据的众数是5小时，中位数是6小时，
故答案为：5；6；
（3）1800×＝540（人），
答：该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数为540人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（7分）长安塔是2011西安世园会的标志，也是园区的观景塔，游人可登塔俯瞰，全园美景尽收眼底．该塔的设计既体现了中国建筑文化的内涵，又彰显出时尚现代的都市风貌，是生态建筑的实践和示范，建成后的目标是成为提升西安城市建筑文化内涵的标志性建筑．小华是一位数学受好者，想利用所学的知识测量长安塔的高度，阳光明媚的一天，小华站在点D处利用测倾器测得塔尖A的仰角为42°，然后沿着DM方向走了60米到达点F处，此时塔的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高EF＝1.7米，测得FG＝3米，测倾器的高度CD＝0.8米，已知AB⊥BG，CD⊥BG，EF⊥BG．请你根据以上信息，计算塔AB的高度．（结果精确到1米；参考数据：tan42°≈0.9）
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，可证四边形HBDC是矩形，可得BD＝CH，BH＝CD，再证△EGF∽△AGB，根据相似三角形的性质可得，即，求出AH的长进一步可得塔AB的高度．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
则∠AHC＝∠BHC＝90°，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴四边形HBDC是矩形，
∴BD＝CH，BH＝CD，
由题意知∠ACH＝42°，
∴tan42°＝，
∴CH＝，
∴DB＝，
∵DF＝60米，FG＝3米，
∴BG＝（+63）米，
∵AB⊥BG，EF⊥BG，
∴∠ABD＝∠EFG＝90°，
又∵EGF＝∠AGB，
∴△EGF∽△AGB，
∴，
∵CD＝0.8米，EF＝1.7米，FG＝3米，
∴，
∵tan42°≈0.9，
∴AH≈94.23米，
∴AB＝AH+BH≈95米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（7分）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．
原料成本（元/件）
生产提成（元/件）
销售单价（元/件）
“冰墩墩”
32
5
45
“雪容融”
28
6
40
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？
【分析】（1）根据总利润＝销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题；
（2）根据该厂每天生产“雪容融”200件，则x＝400，代入（1）中解析式求值即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（45﹣32﹣5）x+（40﹣28﹣6）（600﹣x）＝2x+3600，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x+3600；
（2）由题意得：x＝600﹣200＝400，
∴y＝2x+3600＝2×400+3600＝4400，
答：该厂一天所获得的总利润是4400元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式．
24．（8分）如图，⊙O与△ABC的边AB相切于点E，点O在边BC上，AB＝AC，AO交⊙O于点F，且AO⊥BC于点O．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知点H为⊙O上一点，，，⊙O的半径为1，求HF的长．
【分析】（1）作OK⊥AC，根据角平分线的性质证明K在圆上，即可证明AC是⊙O的切线；
（2）连接OH，通过证明△OEA≌△OKA得出∠EOF＝∠KOF，在Rt△AOE中根据已知条件求出sin∠AOE，再根据，得到∠AOK＝∠KOH，OM⊥FH，M为FH的中点，求出FM即可．
【解答】（1）证明：作OK⊥AC，K为垂足，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC，
∵AB与⊙O相切于点E，
∵OE⊥AB，OK⊥AC，
∴OE＝OK，
∴K在圆上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OH，
由（1）知，∠OEA＝∠OKA，
在Rt△OEA和Rt△OKA中，
，
∴Rt△OEA≌Rt△OKA（HL），
∴∠EOF＝∠KOF，
∴＝，
∵，
∴K为的中点，
设OK与FH相交于点M，
则OM⊥FH，且M为FH的中点，
∵OA＝，OE＝1，
∴AE＝＝，
∴sin∠AOE＝＝，
∴FM＝OF•sin∠FOM＝1×＝，
∴FH＝2FM＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，以及角平分线性质的应用和圆的有关性质，解直角三角形等知识，判断M是FH的中点是解题关键．
25．（8分）如图，顶点为M的抛物线与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L1顶点M的坐标；
（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴另一交点为E，若△EAM为直角三角形，请求出满足条件的新抛物线L2的表达式．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由点A、E、M的坐标得，AM2＝22+42＝20，AE2＝（x﹣3）2，EM2＝（x﹣1）2+16，然后分情况确定点E的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则顶点坐标为（1，4）；
（2）令y＝﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝3或﹣1，即点A（3，0），
设点E（x，0），
由点A、E、M的坐标得，AM2＝22+42＝20，AE2＝（x﹣3）2，EM2＝（x﹣1）2+16，
当AM是斜边时，则20＝（x﹣3）2+（x﹣1）2+16，
解得：x＝3（舍去）或1，
即点E（1，0）；
当AE是斜边时，则（x﹣3）2＝（x﹣1）2+16+20，
解得：x＝﹣7，即点E（﹣7，0）；
当EM是斜边时，则20+（x﹣3）2+（x﹣1）2+16，
解得：x＝3（舍去）；
综上，点E的坐标为（1，0）或（﹣7，0），
∵新抛物线L2经过原点O，且与x轴另一交点为E，
则设抛物线的表达式为：y＝﹣x（x﹣xE），
则抛物线的表达式为：y＝﹣x（x﹣1）＝﹣x2+x或y＝﹣x（x+7）＝﹣x2﹣7x，
即抛物线L2的表达式为：y＝﹣x2+x或y＝﹣x2﹣7x．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
26．（10分）问题探究：
（1）如图①，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，，则△ADE与△ABC的高之比为 ；
（2）如图②，在△ABC中，BC＝10，S△ABC＝50，矩形DEFG的顶点D，E分别在边AB、AC上，顶点F、G在边BC上，若设DG＝x，求当x取何值时，矩形DEFG面积最大．
问题解决：
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③，现有一块四边形的空地ABCD计划改造公园，经测量AB＝50m，BC＝100m，CD＝72m，且∠B＝∠C＝60°，按设计要求，要在四边形公园ABCD内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留根号）
【分析】（1）由相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，即可得到答案；
（2）由相似三角形的对应高的比等于相似比，得到矩形的面积关于x的二次函数关系，即可解决问题；
（3）由二次函数的性质求出矩形PQMN面积的最大值即可解决问题；
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD＝BD，
∴AD：AB＝1：4，
∴△ADE和△ABC的相似比是，
∴△ADE与△ABC的高之比等于相似比是．
故答案为：．
（2）作AN⊥BC于N，交DE于M，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝AM：AN，
∵△ABC的面积＝BC•AN＝50，BC＝10，
∴AN＝10，
∵DG＝x，
∴MN＝x，AM＝10﹣x，
∴DE：10＝（10﹣x）：10，
∴DE＝10﹣x，
∴矩形DEFG的表面积＝DE•DG＝（10﹣x）•x＝﹣（x﹣5）2+25，
∴当x＝5时，矩形DEFG的面积最大；
（3）延长BA，CD交于O，作DH⊥AO于H，
当矩形PQMN的面积最大时，费用最小，
∵PQ∥BC，
∴△OQP是等边三角形，
∴OA＝OB﹣AB＝100﹣50＝50（m），OD＝OC﹣CD＝100﹣72＝28（m），
令PQ＝xm，则OQ＝PQ＝PO＝xm，
∴BQ＝（100﹣x）m，
∵sin∠B＝，
∴QM＝（100﹣x），
∴矩形PQMN的面积＝PQ•MQ＝（100﹣x）x＝﹣（x﹣50）2+1250，
∴矩形PQMN面积的最大值是1250m2，
∵DH＝OD＝14m，
∴△OAD的面积＝OA•DH＝×50×14＝350（m2），
∵△OBC的面积＝BC2＝×1002＝2500（m2），
∴四边形ABCD的面积＝△OBC的面积﹣△OAD的面积＝2500﹣350＝2150（m2），
∴种植花卉的面积＝2150﹣1250＝900（m2），
∴此时绿化改造所需费200×900+80×1250＝280000（元），
∴绿化改造所需费用至少为280000元．
【点评】本题考查相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质，二次函数的性质及类比思想是解题的关键．
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