高中数学高考考点38 直线与圆锥曲线的位置关系-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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考点38直线与圆锥曲线的位置关系【命题解读】   直线与圆锥曲线的位置关系是高考中必考重要知识点之一，每年的高考题都要涉及到这一知识点，在考查中主要是直线与圆锥曲线方程的联立求解最为常见，在解题中还要注意数形结合的应用，在出题上主要以中高档题目为主，往往出现在解答题的压轴题上，注重考查学生的分析问题，解答问题的能力。【命题预测】预计2021年的高考直线与圆锥曲线的考查变化不是很大，重点还是在于考查学生的解答能力，分析能力，计算能力等。【复习建议】  1.掌握直线的方程与圆锥曲线的方程，会联立方程求解；2.掌握数形结合的运用，会分析问题，求解问题。考向一　直线与椭圆的位置关系求解1. 直线与椭圆位置关系的判定方法判断直线与椭圆位置关系的方法只能使用代数方法，而不能使用几何法．即把直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程．利用判别式Δ＝b2－4ac判别．Δ>0⇔有两个公共点；Δ＝0⇔有一个公共点；Δ<0⇔没有公共点．2. 弦长公式设直线l：y＝kx＋m与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时，可有弦长|AB|＝ ＝ ＝ ＝ |x1－x2|＝ ·，或|AB|＝ |y1－y2|＝ ·.3. 中点弦问题直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与弦AB中点有关的问题称为中点弦问题．这类问题的解决常用到“点差法”，其方法是：将A，B两点的坐标代入椭圆方程中，得＋＝1，①　＋＝1，②；①－②，得＋＝0，即＋＝0.③设M(x0，y0)为AB的中点，则有同时有直线AB的斜率kAB＝.⑥将④⑤⑥代入③中得kAB＝－.常用此法来解决中点弦问题及对称问题．1. 【2020广东河源高二期末（理）】已知离心率为的椭圆的左､右顶点分别为A，B，点P为该椭圆上一点，且P在第一象限，直线与直线交于点C，直线与直线交于点D，若，则直线的斜率为（    ）A．或 B． C．或 D．或【答案】B【解析】由，得.设，则.设()，则，直线的方程为，则C的坐标.直线BP的方程为，则D坐标.所以，解得(舍去)或.故选：B.2. 【2020全国高二课时练习】已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A． B． C． D．【答案】A【解析】如图取与重合，则由直线同理由,故选A.考向二  直线与双曲线、抛物线1. 【2020广西月考】已知直线在轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线的方程是（    ）A． B．或C．或 D．【答案】B【解析】双曲线的渐近线的斜率为，因为所求直线与双曲线的渐近线平行故直线的方程是.故选B.2. 【2020重庆市广益中学校期末】已知双曲线（，）的左焦点为F，过原点的直线与双曲线分别相交于A，B两点.已知，，且，则双曲线的离心率为（    ）A．5 B．3 C．2 D．【答案】A【解析】在中，，，且，由余弦定理可得，从而可得，解得．设为双曲线的右焦点，连接，．根据对称性可得四边形是矩形．，．，，解得，．．故选：A.3. 【2020北京海淀人大附中高三开学考试】点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可知是抛物线的准线，交点，由抛物线的性质可知,，如图，当在一条直线上时，取得最小值为，利用点到直线距离公式可以求出，所以的最小值为.故选：B. 题组一（真题在线）1. 【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为A．  B．C．  D．2. 【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为A．   B．  C．   D． 3. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为A．4  B．8 C．16  D．324. 【2020年高考天津】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为A．     B．    C．     D．5. 【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．6. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．7. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且．（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．8. 【2020年高考北京】已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．9. 【2020年高考浙江】如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于点M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．10. 【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．题组二1. 【2020全国高二课时练习】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为A． B． C． D．2. 【2020河南其他（理）】已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点.若，且，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．3. 【2020江苏苏州高二期末（多选题）】已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，（），若恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（    ）A．双曲线的方程为B．双曲线的离心率为C．函数（，）的图象恒过双曲线C的一个焦点D．直线与双曲线C有两个交点4. 【2020河南月考（理）】已知双曲线的左右焦点为、，过左焦点作垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若是钝角，则双曲线离心率的取值范围是______.5. 【2020梅河口市第五中学其他（理）】已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（    ）A． B． C． D．6. 【2020湖南月考】已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.求椭圆的方程；直线：与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，，当面积取最小值时，求此时直线的方程. 7. 【2020江苏泰州中学高二开学考试】在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.8. 【2020利辛县金石中学高三月考】已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．求双曲线C的标准方程；是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．题组一1.D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，∴，，，∴.故选D.2.B【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B．3. B【解析】，双曲线的渐近线方程是，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故，联立，解得，故，，面积为：，双曲线，其焦距为，当且仅当取等号，的焦距的最小值：.故选：B．4. D【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．故选：．5. 【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得   所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：6.  见解析【解析】设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．所以的方程为．（2）由可得．由，可得．所以．从而，故．代入的方程得．故．7. 见解析【解析】（1）由已知可设的方程为，其中.不妨设在第一象限，由题设得的纵坐标分别为，；的纵坐标分别为，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.（2）由（1）知，，故，设，则，，故.①由于的准线为，所以，而，故，代入①得，即，解得（舍去），.所以的标准方程为，的标准方程为.8. 见解析【解析】(1)设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)设，，直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，即：，则：.直线MA的方程为：，令可得：，同理可得：.很明显，且：，注意到：，而：，故.从而.9. 见解析【解析】（Ⅰ）由得的焦点坐标是．（Ⅱ）由题意可设直线，点．将直线的方程代入椭圆得，所以点的纵坐标．将直线的方程代入抛物线得，所以，解得，因此．由得，所以当，时，取到最大值．10. 见解析【解析】 （1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则.所以的周长为.（2）椭圆的右准线为.设，则， 在时取等号.所以的最小值为.（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，则.所以直线 设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍. 由此得，则或.由得，此方程无解；由得，所以或.代入直线，对应分别得或.因此点的坐标为或.题组二1.D【解析】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率为得，，由正弦定理得,所以，故选D.2.D【解析】设，则，，，同理，，，，，在，中，，即，得，有，，在中，由，即，得，即离心率，故选：D.3.AC【解析】设，则，所以，所以，又，当且仅当等号成立，又，且实数t的最大值为1，所以，即，所以双曲线的方程为，故A正确；则双曲线的离心率，故B错误；双曲线的焦点坐标为，函数（，）的图像过定点，故C正确；双曲线的渐近线为，而直线的斜率为，所以直线与双曲线C有没有交点，故D错误，故选：AC4. 【解析】设双曲线的焦距为，双曲线的渐近线方程为，由题意可知，点，，且点、，所以，.因为为钝角，则，得，所以.故答案为：.5.D【解析】抛物线的焦点，设直线的方程为：联立方程组，得设，则有，即由抛物线的定义可得所以，当且仅当时等号成立所以的最小值是故选：D6.见解析【解析】根据椭圆的对称性，必过，，必不过，代入点得，，代入点得，.椭圆的方程为：.由，可得.直线与椭圆有且仅有一个公共点，可知，整理得.由条件可得，，，，，.，，当且仅当，即，时等号成立，最小值为，，，又由，解得.故此时直线的方程为或.7. 见解析【解析】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以，双曲线的标准方程为C：.（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；当斜率存在时，设直线方程为，设，则，化简可得，因为有两个交点，所以化简可得恒成立，所以，因为恰好为线段的中点，则，化简可得，所以直线方程为，即.8. 见解析双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，设双曲线方程为：，过点．可得，所求双曲线方程为：．假设直线l存在．设是弦MN的中点，且，，则，．，N在双曲线上，，，，，直线l的方程为，即，联立方程组，得，直线l与双曲线无交点，直线l不存在．