高中数学高考考点08 函数的奇偶性-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过(1)

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【命题解读】
函数的奇偶性是函数的一个重要性质，在高考的试题中是必考内容，奇偶性在求解过程中要注意函数的定义域的对称，奇偶性可以说是函数的一个“整体”性质，要与单调性区分开来。奇偶性的考察近几年的试题中主要是在函数图象等方面出现，整体难度中等。
【命题预测】
预计2021年的高考函数的奇偶性还是必考内容，在出题上多注意具有奇偶性函数的图象性质，以及借助函数的奇偶性求解函数的解析式等等。
【复习建议】
集合复习策略：
1.理解函数的奇偶性的概念以及具有奇偶性函数的图象性质；
2.掌握判断函数奇偶性的方法；
3.理解掌握函数奇偶性的具体应用。
考向一 函数的奇偶性及图象性质
1．奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数 ；奇函数图象关于原点成中心对称.
2．偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数 ；偶函数图象关于y轴成轴对称.
3．函数具有奇偶性必备条件：
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.
(2)判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
1. 【2019山东潍坊模拟】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－lg35)的值为( )
A．4 B．－4
C．6 D．－6
【答案】B
【解析】当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(0)＝30＋m＝0，则m＝－1.∴f(x)＝3x－1.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－lg35)＝－f(lg35)＝－(3lg35－1)＝－4.
故选B.
2. 【2020四川省高三其他（理）】已知定义在R上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数是偶函数，所以函数是偶函数，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，所以函数的周期为4，
所以，
因为，
所以，
故选：C
3. 【2019临沂三模】已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,设h(x)=|f(x+1)|+g(x+1),则下列结论中正确的是( )
A. h(x) 的图像关于点 (1,0)对称
B. h(x) 的图像关于点 (-1,0)对称
C. h(x) 的图像关于直线x=1对称
D. h(x) 的图像关于直线x=-1对称
【答案】D
【解析】设t=x+1,则x=t-1,h(x)=|f(x+1)|+g(x+1)等价于h(t-1)=|f(t)|+g(t),
因为h(-t-1)=|f(-t)|+g(-t)=|-f(t)|+g(t)=|f(t)|+g(t)=h(t-1),
所以h(x)的图像关于直线x=-1对称.
故选D.
考向二 函数的奇偶性与单调性的综合运用
1. 比较函数值的大小问题,可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,再利用函数的单调性比较大小;
2. 对于抽象函数不等式的求解,应变形为f(x1)>f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式(如x1x2)求解.
1. 【2019甘肃天水月考】已知f(x)＝eq \f(ex－e－x,2)，则下列正确的是( )
A．奇函数，在R上为增函数
B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数
D．偶函数，在R上为减函数
【答案】A
【解析】定义域为R，∵f(－x)＝eq \f(e－x－ex,2)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∵ex是R上的增函数，－e－x也是R上的增函数，∴eq \f(ex－e－x,2)是R上的增函数，
故选A.
2. 【2020辉县市第二高级月考】已知定义域为的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，且在[1，+∞）上单调递增，
所以不等式f（2x+1）＜1=f（3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|，
即|2x|＜2⇔|x|＜1，解得-1
所以所求不等式的解集为：.
故选A．
3. 【2020江苏省期末】关于函数，，下述结论正确的是（ ）
A．若是奇函数，则
B．若是偶函数，则也为偶函数
C．若满足，则是区间上的增函数
D．若，均为上的增函数，则也是上的增函数
【答案】BD
【解析】A. 若是奇函数，则，当定义域不包含时不成立，故错误；
B. 若是偶函数， ，故，也为偶函数，正确；
C. 举反例：满足，在不增函数，故错误；
D. 若，均为上的增函数，则也是上的增函数
设，则
，故单调递增，故正确；
故选：.
题组一（真题在线）
1. 【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x