高考数学真题与模拟训练汇编专题16 空间向量与立体几何(教师版)

专题16 空间向量与立体几何

第一部分 真题分类

1．（2021·全国高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ）

A．当时，的周长为定值

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，有且仅有一个点，使得平面

【答案】BD

【解析】

易知，点在矩形内部（含边界）．

对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；

对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．

对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；

对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．

故选：BD．

2．（2021·天津高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．

（I）求证：平面；

（II）求直线与平面所成角的正弦值．

（III）求二面角的正弦值．

【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）.

【解析】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，

则,,,,,,，

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，

所以,,,

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

因为，所以，

因为平面，所以平面；

（II）由（1）得，，

设直线与平面所成角为，

则；

（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，

则，

所以二面角的正弦值为.

3．（2021·全国高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点为，连接.

因为，，则，

而，故.

在正方形中，因为，故，故，

因为，故，故为直角三角形且，

因为，故平面，

因为平面，故平面平面.

（2）在平面内，过作，交于，则，

结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.

则，故.

设平面的法向量，

则即，取，则，

故.

而平面的法向量为，故.

二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.

4．（2021·北京高考真题）已知正方体，点为中点，直线交平面于点．

（1）证明：点为的中点；

（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】(1)如图所示，取的中点，连结，

由于为正方体，为中点，故，

从而四点共面，即平面CDE即平面，

据此可得：直线交平面于点，

当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，

即点为中点.

(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为2，设，

则：，

从而：，

设平面的法向量为：，则：

，

令可得：，

设平面的法向量为：，则：

，

令可得：，

从而：，

则：，

整理可得：，故（舍去）.

6．（2021·全国高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以

因为，，所以，

又，所以平面．

所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

所以，

．

由题设（）．

（1）因为，

所以，所以．

（2）设平面的法向量为，

因为，

所以，即．

令，则

因为平面的法向量为，

设平面与平面的二面角的平面角为，

则．

当时，取最小值为，

此时取最大值为．

所以，

此时．

7．（2021·全国高考真题（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、，

则，，

，则，解得，故；

（2）设平面的法向量为，则，，

由，取，可得，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

，

所以，，

因此，二面角的正弦值为.

8．（2020·天津高考真题）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），

可得、、、、

、、、、.

（Ⅰ）依题意，，，

从而，所以；

（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，

，．

设为平面的法向量，

则，即，

不妨设，可得．

，

．

所以，二面角的正弦值为；

（Ⅲ）依题意，．

由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

9．（2020·北京高考真题）如图，在正方体中， E为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）如下图所示：

在正方体中，且，且，

且，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面；

（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，，则.

.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．在平行六面体中，为与的交点，若，，，则与相等的向量是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为六面体是平行六面体，

所以四边形是平行四边形，

为与的交点，所以为、的中点，

，

因为，

所以

，

所以，

故选：D

2．如图，四边形和均为长方形，且，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依据题意建立如图所示空间直角坐标系

由，且分别为的中点

所以

故

故

所以异面直线与所成角的余弦值是

故选：B

3．在四面体中，，，，若与互余，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，可得，则为锐角，

在四面体中，，，，

则，其中为锐角，且.

，则，

所以，当时，取得最大值.

故选：B.

4．已知正方体的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【解析】以点D为原点，为轴建立空间直角坐标系，则

设，其中，则，

所以，等号成立的条件是，故其最大值为1，

故选：B．

5．如图所示，在直三棱柱中，，且，，，点在棱上，且三棱锥的体积为，则直线与平面所成角的正弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知得底面，且，

所以，解得.

如图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，

则，，.

设平面的法向量为，

则由可得，即，得，令，得，

所以为平面的一个法向量.

设直线与平面所成的角为，

则.

故选：C.

6．如图，在正方体中，，、分别是、的中点，平面分别与、交于、两点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

如下图所示：

则点、、、、、，

设平面的法向量为，，，

由，可得，取，则，，，

，点到平面的距离为，

，点到平面的距离为，

所以，.

、分别为、的中点，则，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，.

设点、，

由，可得，则，解得，

所以，点，同理可得点，

，，，

，则，

因此，.

故选：D.

二、填空题

7．在三棱锥中，，是正三角形，为中点，有以下四个结论：

①若，则的面积为；

②若，且三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的体积为；

③若，则三棱锥的体积为；

④若，且三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为.

其中结论正确的序号为___________.

【答案】①②④

【解析】取中点，连接，以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系如图所示，

设，

则，，，

，，

由，

是正三角形，

得三棱锥为正三棱锥，

设外接球球心为，半径为，

则，且轴，

所以，

，

解得，

若，

则，

，

所以，

解得：，

又，

所以，故选项①正确；

又，

所以，

故选项②正确；

若，则，

所以，

解得：，

，

故选项③错误；

又，

所以，

故选项④正确；

故答案为：①②④.

8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，有下列结论：

①平面A1D1P⊥平面A1AP；

②多面体的体积为定值；

③直线D1P与BC所成的角可能为；

④APD1能是钝角三角形.

其中结论正确的序号是___________(填上所有序号).

【答案】①②④

【解析】对于①，正方体中，，，

，平面，

平面，平面平面，故①正确；

对于②，，到平面的距离，

三棱锥的体积：，为定值，故②正确；

对于③，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，0，，，，1，，设，，，，

，，，，

，，

假设，所以，

，，所以，所以假设不成立，

故③错误；

对于④，见上图，由题得,设，

所以，

所以，

当时，，即是钝角.此时APD1是钝角三角形.

故④正确.

故答案为：①②④

9．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.

【答案】2.

【解析】

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，

，又，

得即；

又平面，为与平面所成角，

令，

当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.

故答案为：2

三、解答题

10．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.

（1）当四棱锥的体积为时， 求异面直线与所成角的大小；

（2）求证：平面.

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）由题意，，

分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，

，，

∵，而，

∴，∴异面直线与所成角为；

（2）由（1），，此时长度不定，可设．，

∵，∴，即，

同理，，

，平面．

∴平面．

11．如图，矩形中，，将矩形折起，使点与点重合，折痕为，连接、，以和为折痕，将四边形折起，使点落在线段上，将向上折起，使平面⊥平面，如图2.

（1）证明：平面⊥平面；

（2）连接、，求锐二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：在平面ABCD中，AF=FC，BF+FC=AB，

设，则，设BF=x，

在中，，解得，则，

因为点B落在线段FC上，所以，所以，

又即，，平面ABE，

所以平面ABE，

由平面EFC可得平面ABE⊥平面EFC；

（2）以为原点,为x轴，过点F平行BE的方向作为作y轴，过点F垂直于平面EFC的方向作为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，

易得平面ABE的一个法向量为，

作于， 因为平面DEC⊥平面FEC，所以平面，

则，，，

设平面DBE的一个法向量为，
则，令则，

因为，

所以锐二面角A-BE-D的正弦值为.

12．如图，在四棱柱中，底面，，，且，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：因为，，

所以，，

因为，所以，

所以，即．

因为底面，

所以底面，所以．

因为，

所以平面，

又平面，所以平面平面．

（2）解：如图，分别以，，为，，轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，，．

所以，，，

设平面的法向量为，

则

令，得．

设平面的法向量为，

则

令，得，

所以，

由图知二面角为锐角，

所以二面角所成角的余弦值为．