高考数学真题与模拟训练汇编专题11 等比数列(教师版)

专题11 等比数列

第一部分 真题部分

一、选择题

1．（2021·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ）

A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线

【答案】C

【解析】由题意得，即，

对其进行整理变形：

，

，

，

，

所以或，

其中为双曲线，为直线.

故选：C.

2．（2021·全国高考真题）设正整数，其中，记．则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】对于A选项，，，

所以，，A选项正确；

对于B选项，取，，，

而，则，即，B选项错误；

对于C选项，，

所以，，

，

所以，，因此，，C选项正确；

对于D选项，，故，D选项正确.

故选：ACD.

3．（2020·全国高考真题（文））设是等比数列，且，，则（    ）

A．12 B．24 C．30 D．32

【答案】D

【解析】设等比数列的公比为，则，

，

因此，.

故选：D.

4．（2020·全国高考真题（理））数列中，，，若，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】在等式中，令，可得，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，

，

，则，解得.

故选：C.

5．（2019·全国高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（  ）

A．16 B．8 C．4 D．2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，

解得，，故选C．

二、填空题

6．（2021·江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.

【答案】4

【解析】因为为等比数列，且公比为，

所以，且，.

因为，，成等差数列，

所以，

有，，

解得.

故答案为：.

7．（2019·全国高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．

【答案】.

【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．

8．（2020·江苏高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．

【答案】

【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.

等差数列的前项和公式为，

等比数列的前项和公式为，

依题意，即，

通过对比系数可知，故.

故答案为：

三、解答题

9．（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．

（I）求和的通项公式；

（II）记，

（i）证明是等比数列；

（ii）证明

【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．

所以，所以，

所以；

设等比数列的公比为，

所以，解得（负值舍去），

所以；

（II）（i）由题意，，

所以，

所以，且，

所以数列是等比数列；

（ii）由题意知，，

所以，

所以，

设，

则，

两式相减得，

所以，

所以.

10．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）当时，，

，

当时，由①，

得②，①②得

，

又是首项为，公比为的等比数列，

；

（2）由，得，

所以，

，

两式相减得

，

所以，

由得恒成立，

即恒成立，

时不等式恒成立；

时，，得；

时，，得；

所以.

11．（2021·全国高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，

所以，所以，

即，解得，所以，

所以.

（2）证明：由（1）可得，

，①

，②

①②得 ，

所以，

所以，

所以.

12．（2021·江苏高考真题）已知数列满足，且.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】（1）由，得，∴，又，

∴是首项为3，公比为3的等比数列.   

（2），∴.

（3）.

13．（2020·山东高考真题）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，

所以，所以数列的通项公式为.

（2）由于，所以

对应的区间为：，则；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个；

对应的区间分别为：，则，即有个.

所以.

14．（2020·全国高考真题（文））设等比数列{an}满足，．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设等比数列的公比为，

根据题意，有，解得，

所以；

（2）令，

所以，

根据，可得，

整理得，因为，所以，

15．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

【答案】（1），，，证明见解析；（2）.

【解析】（1）由题意可得，，

由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立；

（2）由（1）可知，

，①

，②

由①②得：

，

即.

16．（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，

，

；

（2）设的前项和为，，

，①

，②

①②得，

，

.

17．（2019·上海高考真题）已知等差数列的公差，数列满足，集合.

（1）若，求集合；

（2）若，求使得集合恰好有两个元素；

（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】（1）， ，，

，，，

由周期性可知，以为周期进行循环

（2），，

恰好有两个元素

或

即或

或

（3）由恰好有个元素可知：

当时，，集合，符合题意；

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故

又，故

当时，如图取，，符合条件

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故

又，故

当时，如图取，，符合条件

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故

又，故

当时，如图取时，，符合条件

当时，，

或

因为为公差的等差数列，故   

又，故

当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；

当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；

当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或

若，即，不是整数，

若，即，不是整数，

故不符合条件；

综上：

18．（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）记的前项和为，求证：；

（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.

由，，可得d=1.

从而的通项公式为.

由，

又q≠0，可得，解得q=2，

从而的通项公式为.

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，

故，，

从而，

所以.

(Ⅲ)当n为奇数时，，

当n为偶数时，，

对任意的正整数n，有，

和 ①

由①得 ②

由①②得，

由于，

从而得：.

因此，.

所以，数列的前2n项和为.

第二部分 模拟训练

1．已知函数，给出三个条件：①；②；③.从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】已知函数，定义域为.

若选①，则，，不是常数，则不是等比数列；

若选②，则，，不是常数，则不是等比数列；

若选③，则，，是常数，

则是以为首项，以3为公比的等比数列，则.

故选：D.

2．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得，

所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，

若正项数列为“梦想数列”，则，所以，，

即正项数列是公比为的等比数列，

因为，因此，.

故选：D.

3．已知是定义在上的奇函数，且，.数列满足，其中是数列的前项和，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由数列满足，

当，，即

所以数列是首项，公比的等比数列，，

由知函数对称轴为，又是奇函数，所以函数周期为.

.

故选：D.

4．已知数列的前项和为且满足，下列命题中错误的是（    ）

A．是等差数列 B． C． D．是等比数列

【答案】C

【解析】时，因为，所以，所以，

所以是等差数列，A正确；

，，公差，所以，所以，B正确；

不适合，C错误；

，数列是等比数列，D正确．

故选：C．

5．数列中，，若，则_______________．

【答案】3

【解析】因为，所以，所以，是等比数列，公比为2．

所以．

因为，所以．

故答案为：3．

6．在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】依题意，

依题意存在，使得，

即，即，

所以，

所以.

当且仅当时等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

7．定义函数，则函数在区间内的所有的零点之和为_______.

【答案】

【解析】当1≤x时，f（x）＝12x﹣12，

所以，此时当x时，g（x）max＝0；

当x≤2时，f（x）＝24﹣12x，所以＜0；

由此可得1≤x≤2时，g（x）max＝0．

下面考虑2n﹣1<x≤2n且n≥2时，g（x）的最大值的情况．

当2n﹣1<x≤3•2n﹣2且n≥2时，由函数f（x）的定义知f（x）f（）f（），

因为1，

所以，

此时当x＝3•2n﹣2时，g（x）max＝0；

当3•2n﹣2<x≤2n时，同理可知，<0．

由此可得2n﹣1<x≤2n且n≥2时，g（x）max＝0．

综上可得：对于一切的n∈N*，函数g（x）在区间(2n﹣1，2n]上有1个零点，

从而g（x）在区间[1，2n]上有n个零点，且这些零点为xn＝3•2n﹣2，

因此，所有这些零点成等比数列，所有零点的和为．

故答案为：．

8．已知各项都为正数的数列满足．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若，求的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）（）

【解析】（1）由可得：

因为各项都为正数，所以，

所以是公比为3的等比数列.

（2）构造，整理得：

所以，即

所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列.

所以（）

9．已知是各项均为正数的等比数列，，.

（1）求；

（2）在平面直角坐标系中，设点列都在函数的图象上，若所在直线的斜率为，且，求数列的通项公式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意，设正项等比数列的公比为，其中，

因为，所以，则，解得或（舍），

由得，则；

（2）因为点列都在函数的图象上，

所以，

又所在直线的斜率为，所以，即，

则，，…，

以上各式相加得，

又，

则.

10．对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.

（1）若数列1，2，，8是数列，求实数的取值范围；

（2）设数列，，，，是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；

（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为、，求证：当且时，数列不是数列.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】解：（1）由题意得，所以；

实数的取值范围是.

（2）由题意得，该数列的前项和为，

由数列是数列，得，故公差，

对满足的所有都成立，

则，解得，所以的取值范围是；

（3）若是数列，则，

因为，所以，又由对所有都成立，得恒成立，

即恒成立，因为，故，所以，

若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列可知，

若中的每一项都在中，同理可得，

若中至少有一项不在中，且中至少有一项不在中，

设是将中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，

它们的所有项之和分别为，不妨设中的最大项在中，设为，则，故总有与矛盾，

故假设错误，原命题正确.