高考数学真题与模拟训练汇编专题10 等差数列(教师版)

专题10 等差数列

第一部分 真题部分

一、选择题

1．（2021·北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知条件可得，则，因此，.

故选：B.

2．（2021·北京高考真题）数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【解析】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，

不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，

则，，，

所以n的最大值为11.

故选：C.

3．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ）

A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．

【答案】D

【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；

对于B，由题意可知，，，

∴，，，．

∴，．

根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；

对于C，，

当时，，C正确；

对于D，，，

．

当时，，∴即；

当时，，∴即，所以，D不正确．

故选：D.

4．（2019·全国高考真题（理））记为等差数列的前n项和．已知，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题知，，解得，∴，故选A．

二、填空题

5．（2021·江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________.

【答案】4

【解析】因为为等比数列，且公比为，

所以，且，.

因为，，成等差数列，

所以，

有，，

解得.

故答案为：.

6．（2020·海南高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

【答案】

【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为，

故答案为：.

7．（2020·全国高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则__________．

【答案】

【解析】是等差数列，且，

设等差数列的公差

根据等差数列通项公式：

可得

即：

整理可得：

解得：

根据等差数列前项和公式：

可得：

.

故答案为：.

8．（2019·江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.

【答案】16.

【解析】由题意可得：，

解得：，则.

9．（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.

【答案】4.

【解析】因，所以，即，所以．

三、解答题

10．（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．

（I）求和的通项公式；

（II）记，

（i）证明是等比数列；

（ii）证明

【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．

所以，所以，

所以；

设等比数列的公比为，

所以，解得（负值舍去），

所以；

（II）（i）由题意，，

所以，

所以，且，

所以数列是等比数列；

（ii）由题意知，，

所以，

所以，

设，

则，

两式相减得，

所以，

所以.

11．（2021·全国高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

【答案】(1)；(2)7.

【解析】(1)由等差数列的性质可得：，则：，

设等差数列的公差为，从而有：，

，

从而：，由于公差不为零，故：，

数列的通项公式为：.

(2)由数列的通项公式可得：，则：，

则不等式即：，整理可得：，

解得：或，又为正整数，故的最小值为.

12．（2021·全国高考真题）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题设可得

又，，

故，即，即

所以为等差数列，故.

（2）设的前项和为，则，

因为，

所以

.

13．（2021·全国高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】答案见解析

【解析】选①②作条件证明③：

设，则，

当时，；

当时，；

因为也是等差数列，所以，解得；

所以，所以.

选①③作条件证明②：

因为，是等差数列，

所以公差，

所以，即，

因为，

所以是等差数列.

选②③作条件证明①：

设，则，

当时，；

当时，；

因为，所以，解得或；

当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；

当时，，不合题意，舍去.

综上可知为等差数列.

14．（2021·全国高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

15．（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；

（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．

①求数列{bn}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．

【答案】（1）见解析；

（2）①bn=n；②5.

【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.

由，得，解得．

因此数列为“M—数列”.

（2）①因为，所以．

由得，则.

由，得，

当时，由，得，

整理得．

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.

②由①知，bk=k，.

因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.

因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.

当k=1时，有q≥1；

当k=2，3，…，m时，有．

设f（x）=，则．

令，得x=e.列表如下：

因为，所以．

取，当k=1，2，3，4，5时，，即，

经检验知也成立．

因此所求m的最大值不小于5．

若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，

所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

综上，所求m的最大值为5．

16．（2019·北京高考真题（文））设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，

因为成等比数列，所以，

即，解得，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,

所以；

当或者时，取到最小值.

第二部分 模拟训练

1．若数列为等差数列，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

故选：C

2．记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】解：由已知可得，

由，所以数列为等差数列，首项为8，公差为-2，

所以，

当n=4或5时， 取得最大值为20，

因为有且只有两个正整数n满足，

所以满足条件的和，

因为，

所以实数k的取值范围是．

故选：C．

3．已知为等差数列的前项和，，，则下列数值中最大的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设等差数列的公差为，，，

，解得，，

，

，可得是单调递增数列，

所以在，，，中，最大的为．

故选：D.

4．在正项等比数列中...满足=.则（    ）

A．4 B．3 C．5 D．8

【答案】A

【解析】由题意得公比，

首项，

∴，

由，

可得，解得,

故选：A.

5．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的前n项和______.

【答案】

【解析】，

当时，，

当时，，满足，

，

，

当为偶数时，，

当为奇数时，，

.

故答案为：

6．数列的前项和为，，数列满足，则数列的前10项和为______．

【答案】65

【解析】由知：，则，得，

∴，而，

∴，故数列的前10项和为，

故答案为：65.

7．设公差不为的等差数列的前项和为.若数列满足：存在三个不同的正整数，使得成等比数列，也成等比数列，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】设，，

由题意成等比数列，，所以，

也成等比数列，，所以，

所以，所以，

，所以，．

，

，

设，由勾形函数性质知在上递减，在上递增，又，

，，

所以的最小值为45．即的最小值为45．

故答案为：45．

8．已知定义在上的函数满足.设在上的最大值记作，为数列的前项和，则的最大值为___________.

【答案】

【解析】由题意，函数，

当时，，此时，

此时函数在上的最大值为，所以，

当时，，此时，此时，

所以，

此时函数在上的最大值为，所以，

当时，，

此时函数的最大值为，所以，

当时，，当时，，

所以的最大值为.

故答案为：.

9．设等差数列的前n项和为，首项，且.数列的前n项和为，且满足.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），；（2）.

【解析】解：（1）设数列的公差为d，且，

又，

则，

所以，

则；

由可得，

两式相减得，

，

又，

所以，

故是首项为1，公比为3的等比数列，

所以.

（2）设，

记的前n项和为.

则，

，

两式相减得：，

，

所以.

10．已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设等差数列的前项和为，且，令，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2） ．

【解析】（1）当时，，；

当时，由，①

得，②

①②得，，，也符合，

因此，数列的通项公式为；

（2）由题意，设等差数列的公差为，

则，

，解得，，；

由（1）知，，

故

．

11．已知数列满足恒成立.

（1）若且，当成等差数列时，求的值；

（2）若且，当、时，求以及的通项公式；

（3）若，，，，设是的前项之和，求的最大值.

【答案】（1） ；（2），；（3）

【解析】（1）若且，

所以，即，

当成等差数列时，，

所以，解得： ；

（2），

令可得，即，

令可得，即

所以，因为，所以，解得，

由可得，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，

所以，，， ，

以上式子累乘得：

，

所以，

（3）由可得，

所以，

因为，所以，即，

所以，

因为，所以，所以，

因为，所以即，

，

因为，，所以，因为，所以，

所以，可得，

所以，

令，设，

，对称轴为，是开口向上的抛物线，在单调递增，

所以时取得最大值，故最大值为，

所以最大值为.