高考数学真题与模拟训练汇编专题13 数列的综合应用(教师版)

专题13 数列的综合应用

第一部分 真题分类

1. 如图，将钢琴上的12个键依次记为，，，设若且，则，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为

A. 5 B. 8 C. 10 D. 15

【答案】C

【解析】解：若且，则，，为原位大三和弦，
即有，，；，，；，，；，，；，，，共5个；
若且，则，，为原位小三和弦，
可得，，；，，；，，；，，；，，，共5个，
总计10个．
故选：C．

2. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是    

A. 440 B. 330 C. 220 D. 110

【答案】A

【解析】解：由题意可知，数列可看作：第一项，第二项：，第三项：，，第n项：，
根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：，，，，，
每项含有的项数为：1，2，3，，n，
总共的项数为，
所有项数的和为
，
由题意可知：为2的整数幂，只需将消去即可，
则，解得：，
总共有，不满足，
，解得：，
总共有，不满足，
，解得：，
总共有，不满足，
，解得：，
总共有，满足，
该款软件的激活码是440．
故选A．  

3. 设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列．已知数列的前n项和，则的值是______．

【答案】4

【解析】解：因为的前n项和，
因为是公差为d的等差数列，设首项为；是公比为q的等比数列，设首项为，
所以的通项公式，所以其前n项和：，
 中，当公比时，其前n项和，
所以的前n项和，显然没有出现，所以，
则的前n项和为：，
所以，
由两边对应项相等可得：解得：，，，，
所以，
故答案为：4．

4. 记为等差数列的前n项和，已知．

若，求的通项公式；

若，求使得的n的取值范围．

【答案】解：根据题意，等差数列中，设其公差为d，
若，则，
可得，即，
若，则，
则；
若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由得，即，
则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：且．

5. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
   Ⅰ求和的通项公式；
   Ⅱ求数列的前n项和

【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为 
由已知，得，
而，所以
又因为，解得
所以．
 由，可得，
 由，可得，
联立解得，，
所以．
所以的通项公式为，的通项公式为；
Ⅱ设数列的前n项和为，
 由可得，
所以，， 
上述两式相减，得
，
所以 
所以数列的前n项和为．

6. 设等差数列的前n项和为，，数列满足：对每个，，，成等比数列．
   Ⅰ求数列，的通项公式；
   Ⅱ记，，证明：，．

【答案】解：Ⅰ设数列的公差为d，
由题意得，
解得，，
，．
，，
数列满足：对每个，，，成等比数列．
，
解得，
解得，．
证明：Ⅱ，，
用数学归纳法证明：
当时，，不等式成立；
假设，时不等式成立，即，
则当时，

，
即时，不等式也成立．
由得，．

7. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为数列是公比大于0的等比数列，，．
   求数列和的通项公式；
   记，．
   证明：是等比数列；
   证明：．

【答案】证明：由数列是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，
可得，解得，
所以；
由数列是公比q大于0的等比数列，，，
可得，解得舍去，
所以；
证明：因为，，
所以，
则，
所以，
又，
所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列；
证明：设，
考虑，则，
所以，
则，
两式相减可得，，
所以，
则，
故．

8. 定义数列：对，满足：
   ，；，；，，．
   对前4项2，，0，1的数列，可以是数列吗？说明理由；
   若是数列，求的值；
   是否存在，使得存在数列，对任意，满足？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．

【答案】解：由性质，结合题意可得，矛盾，
故前4项2，，0，1的数列，不可能是数列；
性质，，；
由性质，因此或，或，
若，由性质可得，即或，矛盾；
若，，由，则，矛盾，
因此只能是，，
又因为或，所以或．
若，则，不满足，舍去；
当，则的前四项为0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明2，，，
当时，经检验命题成立；
假设时命题成立．
当时，
若，则，
利用性质：，此时可得，
否则，取可得，而由性质可得，与矛盾．
同理可得，，此时可得，
，此时可得，
，又因为，此时可得，
即当时，命题成立．
综上可得，；
令，由性质可知，，，，
由于，，，
因此数列为数列，
由可知，若，2，，；
，
，
因此，此时，，，，，满足题意．

9. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项数列满足，数列的前n项和为．
   Ⅰ求q的值；
   Ⅱ求数列的通项公式．

【答案】解：等比数列的公比，
且，是，的等差中项，
可得，
解得，
由，可得或舍去，
则q的值为2；
由及可得，
解得，故，
设，
可得时，，
时，可得，
上式对也成立，
则，
即有，
可得
，
，
相减可得
，
化简可得．

10. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．
    Ⅰ求和的通项公式；
    Ⅱ求数列的前n项和

【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由已知，得，而，所以，
又因为，解得，所以；
由，可得，
由，可得，
联立，解得，，由此可得；
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．
Ⅱ设数列的前n项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得


，
得．
所以数列的前n项和为．

第二部分 模拟训练

1．某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）

【答案】（1）证明见解析；（2）年.

【解析】（1）证明：由题意知．

即，所以．

由题意知，

所以数列的首项为，

所以是首项为，公比为的等比数列．

（2）由（1）知数列的首项为，公比为．

所以，所以．

当，得．

两边取常用对数得，所以，所以，

因为，所以．

即至少经过年，该项目的资金达到翻一番．

2．已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列前项和；

（3）在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）;（2）;（3）在数列中，仅存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1.

【解析】（1）显然要分奇偶求解，用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求解；（2）同（1）要按奇偶分别求和，即求的也就是分奇偶后的前n项和；（3）先假设存在这样的连续三项按原来的顺序成等差数列，即假设 ，则，然后代入通项公式得，显然不成立；再假设，则，然后代入通项公式得，解此方程要构造新的方程，即令， ，故，只有 ，则仅存在连续的三项合题意.

试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

则,

,

又，，解得,

∴对于，有,

故.

（2）.

（3）在数列中，仅存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1，下面说明理由.

若，则由，得,

化简得，此式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立.

若，则由，得,

化简得.

令，则.

因此，，故只有，此时.

综上，在数列中，仅存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列，此时正整数的值为1

3．设数列的前n项和为，

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．

（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在

【解析】（1）n=1时，，

时，（n=1也符合）

，，即数列是等比数列．

（2）若则

可设，两边同除以得：

因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在．

（3）若则

可设，，， 不成立．

4．已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】解：（1）设等比数列的公比为，由题意，得

解得或（舍）

又所以

（2）.

5．已知函数，.

（1）当时，恒成立，试求实数的取值范围；

（2）若数列满足：，，证明：.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）依题意，

恒成立，即恒成立，

亦即恒成立.

令，

则，

令，则，

在上单调递增，在上也单调递增，

当时，，

在上单调递增，

恒成立，

当时，在上单调递减，在上单调递增，

而，所以在不恒成立，

故实数的取值范围是；

（2），

所以，

若，则，

由（1）知，在上单调递增，且，

即当时，，

.

6．已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列．

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；

（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{ }的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对n≥2, n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．

【答案】（1）（2） 或 （3）见解析

【解析】（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：

       解得d＝1，q＝2，                                            

       所以.

（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，

   有，

 即 ，                                 

由于，且为正整数，所以，

所以，                      

可得 ， 即，

①当1≤m≤2时，不等式不成立；

②当 或 时 成立；   

③当时，，，即，则有；

所以的最小值为6，

当且仅当，且 或 时取得．    

（3）由题意得：

                        （1）

                   （2）

              （1）—（2）得

                                ，           

               求得 ，

               所以 ，

               设，则，

               所以 在上单调递增，有，

               可得 .                                 

               当，且N*时，，

               有 ，                  

               所以，

               可得，

               所以.

7．已知数列中， ，且对任意正整数都成立，数列的前项和为．

（1）若，且，求；

（2）是否存在实数，使数列是公比为1的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由；

（3）若，求．（用表示）．

【答案】(1) ；(2) ；(3) .

【解析】（1）时，，

所以数列是等差数列，

此时首项，公差，

数列的前项和是；

故，得 ；

（2）设数列是等比数列，则它的公比，所以，

①为等差中项，则，

即，解得，不合题意；

②为等差中项，则,

即，化简得：，解得或（舍去）；

③若为等差中项，则，

即，化简得：，解得；

；

综上可得，满足要求的实数有且仅有一个，；

（3），则，

，

当是偶数时，

，

当是奇数时，

，

也适合上式，

综上可得，．

8.已知数列中， ，前项和满足（）．

⑴ 求数列的通项公式；

⑵ 记，求数列的前项和；

⑶ 是否存在整数对（其中，）满足？若存在，求出所有的满足题意的整数对；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) ;(2) ;(3) ， ， ．

【解析】当时,可得（），而当时，

（），可得到数列是首项为，公比也为的等比数列，从而可求数列的通项公式；

由知，代入，对通项公式进行裂项，即可求得数列的前项和；

要求出所有的满足题意的整数对，根据题目意思表达出关于的表达式，

然后进行讨论．

解析：⑴ 当时，与相减，

得，即（），    

在中，令可得，，即；    

故（），

故数列是首项为，公比也为的等比数列，其通项公式为；

⑵由⑴ 知，

，             

则．

⑶，即，

即，   

若存在整数对，则必须是整数，其中只能是的因数，

可得时，； 时，；时，；   

综上所有的满足题意得整数对为，，．