高考数学真题与模拟训练汇编专题09 平面向量(教师版)

专题9 平面向量

第一部分 真题部分

一、选择题

1．（2021·浙江高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】若，则，推不出；若，则必成立，

故“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

2．（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】A：，，所以，，故，正确；

B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；

C：由题意得：，，正确；

D：由题意得：，

，故一般来说故错误；

故选：AC

3．（2020·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，.

，

因此，.

故选：D.

4．（2020·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（    ）

A． B． C．  D．

【答案】D

【解析】由已知可得：.

A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意.

故选：D.

5．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

6．（2018·浙江高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】设，

则由得，

由得

因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.

二、填空题

7．（2021·天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．

【答案】1       

【解析】设，，为边长为1的等边三角形，，

，

，为边长为的等边三角形，，

，

，

，

所以当时，的最小值为.

故答案为：1；.

8．（2021·北京高考真题），，，则_______；_______．

【答案】0    3   

【解析】，

，，

.

故答案为：0；3.

9．（2021·全国高考真题（理））已知向量．若，则________．

【答案】.

【解析】,

，解得,

故答案为：.

10．（2021·全国高考真题）已知向量，，，_______．

【答案】

【解析】由已知可得，

因此，.

故答案为：.

11．（2021·全国高考真题（理））已知向量，若，则__________．

【答案】

【解析】因为，所以由可得，

，解得．

故答案为：．

12．（2020·浙江高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】，

，

，

.

故答案为：.

13．（2019·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.

【答案】.

【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.

，

得即故.

14．（2019·天津高考真题（文）） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.

【答案】.

【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，．

因为∥，，所以，

因为，所以，

所以直线的斜率为，其方程为，

直线的斜率为，其方程为．

由得，，

所以．

所以．

15．（2019·上海高考真题）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________

【答案】

【解析】由题意：，

设，，因为，则

与结合    ，又   

与结合，消去，可得：

所以

本题正确结果：

16．（2021·江苏高考真题）已知向量，，设函数.

（1）求函数的最大值;

（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，，

所以函数

∴当时，

（2）∵为锐角三角形，.

又

即

第二部分 模拟训练

1．已知，，，若，则（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】∵，

∴，

则，

∴，

故选：D.

2．在中，点D是线段(不包括端点)上的动点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，所以，

所以，所以，

所以，所以，，

又，，

故选：B.

3．设是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，设向量与向量的夹角为，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，是直线的一个方向向量，则，

是直线的一个法向量，，

则，

故，

故选：C.

4．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意，，

故选：B．

5．在中，与的夹角为，，，，则________

【答案】

【解析】解：

.

故答案为: .

6．已知向量，，，则实数______.

【答案】

【解析】因为，，

所以，

又，

所以，

则，

所以，整理得，

解得.

故答案为：.

7．已知向量的模长为1，平面向量满足：，则的取值范围是_________.

【答案】

【解析】由题意知：不妨设，，

则根据条件可得：

，，

根据柯西不等式得：

因为，

， ，

当且仅当时取等号；

令，则，又，则，

所以，当时，，即；

，而，所以当时，，即，故的取值范围是.

8．已知平面内非零向量，，，满足，，，若，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】，，，，

又，的夹角为，

建立如图所示直角坐标系，

设，则，，设，

，，

则点C在以为圆心，1为半径的圆上，

的取值范围转化为圆上的点到定点的距离的范围，

圆心到点的距离为，

的取值范围为.

故答案为：

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（1）求角A的大小；

（2）若点D是BC的中点，且，求△ABC的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意得

（2）

,当且仅当时，等号成立.

故△ABC的面积的最大值是

10．已知向量，.

（1）求的最大值及取得最大值时的取值集合；

（2）在中，分别是角的对边，若且，求面积的最大值.

【答案】（1）最大值为，；（2）.

【解析】（1），

，

∴的最大值为，

此时，即，

∴；

（2）∵，∴，，

∵，∴，

，当且仅当时，等号成立，

所以，∴，

所以面积的最大值.

11．已知函数.

（1）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；

（2）设的内角满足，若，求边上的高长的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）

，

又，所以，则，

所以在区间上的值域为.

由可得，

所以，即；

（2）由，即，可得，

，，则或，解得或．

由，即，所以，则，

由余弦定理，得，

由三角形的面积公式可得，

即．所以．

所以边上的高长的最大值为.