高中数学高考第五章 5 5复数-教师版(1)

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进门测
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
(4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 复数的概念
例1 (1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
(2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(3)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
答案 (1)A (2)A (3)1
解析 (1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，
∴a＝3，b＝－2，故选A.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m＋1＝3，,m2＋m－4＝－2，))解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
(3)∵(1＋i)z＝2，∴z＝eq \f(2,1＋i)＝1－i，∴其实部为1.
引申探究
1．若将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a，b的值．
解 (1＋i)(2－3i)
＝2＋3－i＝5－i＝a＋bi，
所以a＝5，b＝－1.
2．若将本例(3)中的条件“(1＋i)z＝2”改为“(1＋i)3z＝2”，求z的实部．
解 z＝eq \f(2,1＋i3)＝eq \f(2,－2＋2i)
＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i，
∴z的实部为－eq \f(1,2).
思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若eq \f(z1,z2)为纯虚数，则复数eq \f(z1,z2)的虚部为( )
A．1 B．i C.eq \f(2,5) D．0
(2)已知复数z满足z2＝－4，若z的虚部大于0，则z＝________.
答案 (1)A (2)2i
解析 (1)由eq \f(z1,z2)＝eq \f(2＋ai,1－2i)＝eq \f(2＋ai1＋2i,5)＝eq \f(2－2a,5)＋eq \f(4＋a,5)i是纯虚数，得a＝1，此时eq \f(z1,z2)＝i，其虚部为1.
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R，b>0)，
则z2＝a2－b2＋2abi＝－4，
因此a＝0，－b2＝－4，b＝±2，
又b>0，∴b＝2，∴z＝2i.
题型二 复数的运算
命题点1 复数的乘法运算
例2 (1)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2等于( )
A．0 B．2 C．2i D．2＋2i
(2)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
(3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 (1)C (2)B (3)B
解析 (1)(1＋i)2＝12＋i2＋2i＝1－1＋2i＝2i.
(2)由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x＝y))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))所以|x＋yi|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2)，故选B.
(3)因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.
命题点2 复数的除法运算
例3 (1)若z＝1＋2i，则eq \f(4i,z\x\t(z)－1)等于( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
(2)复数eq \f(1＋2i,2－i)等于( )
A．i B．1＋i C．－i D．1－i
(3)(eq \f(1＋i,1－i))6＋eq \f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________.
答案 (1)C (2)A (3)－1＋i
解析 (1)z＝1＋2i，zeq \x\t(z)＝5，eq \f(4i,z\x\t(z)－1)＝i.
(2)eq \f(1＋2i,2－i)＝eq \f(1＋2i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(5i,5)＝i.
(3)原式＝[eq \f(1＋i2,2)]6＋eq \f(\r(2)＋\r(3)i\r(3)＋\r(2)i,\r(3)2＋\r(2)2)
＝i6＋eq \f(\r(6)＋2i＋3i－\r(6),5)＝－1＋i.
命题点3 复数的综合运算
例4 (1)若复数z满足2z＋eq \x\t(z)＝3－2i，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
(2)若z＝4＋3i，则eq \f(\x\t(z),|z|)等于( )
A．1 B．－1
C.eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i D.eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i
(3)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－eq \f(4,5) C．4 D.eq \f(4,5)
答案 (1)B (2)D (3)D
解析 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，
∴2(a＋bi)＋(a－bi)＝3－2i，整理得3a＋bi＝3－2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＝3，,b＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))∴z＝1－2i，故选B.
(2)z＝4＋3i，|z|＝5，eq \f(\x\t(z),|z|)＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i.
(3)设z＝a＋bi，
故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3b－4a＝0，,3a＋4b＝5，))解得b＝eq \f(4,5).
思维升华 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．
(1)若复数z满足eq \f(\x\t(z),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2 017＝________.
(3)eq \f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1－i)))2 017＝________.
答案 (1)A (2)i (3)eq \f(\r(2),2)＋(eq \f(\r(2),2)＋1)i
解析 (1)eq \x\t(z)＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i，故选A.
(2)(eq \f(1＋i,1－i))2 017＝[eq \f(1＋i2,1－i1＋i)]2 017＝i2 017＝i.
(3)eq \f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋(eq \f(\r(2),1－i))2 017
＝eq \f(i1＋2\r(3)i,1＋2\r(3)i)＋(eq \f(\r(2),1－i))[(eq \f(\r(2),1－i))2]1 008
＝i＋i1 008·eq \f(\r(2),2)(1＋i)＝eq \f(\r(2),2)＋(eq \f(\r(2),2)＋1)i.
题型三 复数的几何意义
例5 (1)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的( )
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
答案 D
解析 由几何意义知，复数z对应的点到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．
(2) 如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
①eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))所表示的复数；
②对角线eq \(CA,\s\up6(→))所表示的复数；
③B点对应的复数．
解 ①eq \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))，∴eq \(AO,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.
∵eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))，∴eq \(BC,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.
②eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，∴eq \(CA,\s\up6(→))所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
已知z是复数，z＋2i，eq \f(z,2－i)均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
∵eq \f(z,2－i)＝eq \f(x－2i,2－i)＝eq \f(1,5)(x－2i)(2＋i)
＝eq \f(1,5)(2x＋2)＋eq \f(1,5)(x－4)i，
由题意得x＝4，∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＋4a－a2>0，,8a－2>0，))
解得20，且(1＋ai)(b＋i)＝5i(i是虚数单位)，则a＋b等于( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2) C．2 D．4
答案 D
解析 由题意得(1＋ai)(b＋i)＝(b－a)＋(1＋ab)i＝5i，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－a＝0，,1＋ab＝5，))又a>0，b>0，所以a＝b＝2，则a＋b＝4.
2．已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－eq \f(a,1－i)是实数，则a的值为( )
A．－4 B．2 C．－2 D．4
答案 D
解析 ∵2i－eq \f(a,1－i)＝2i－eq \f(a1＋i,1－i1＋i)
＝2i－eq \f(a,2)－eq \f(a,2)i＝(2－eq \f(a,2))i－eq \f(a,2)，a∈R，
∴2－eq \f(a,2)＝0，∴a＝4.
3．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq \f(z,1＋i)的点是( )
A．E B．F C．G D．H
答案 D
解析 由题图知复数z＝3＋i，
∴eq \f(z,1＋i)＝eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(4－2i,2)＝2－i.
∴表示复数eq \f(z,1＋i)的点为H.
4．eq \x\t(z)是z的共轭复数，若z＋eq \x\t(z)＝2，(z－eq \x\t(z))i＝2(i为虚数单位)，则z等于( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
答案 D
解析 方法一 设z＝a＋bi，a，b为实数，则eq \x\t(z)＝a－bi.
∵z＋eq \x\t(z)＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－eq \x\t(z))i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.
方法二 ∵(z－eq \x\t(z))i＝2，∴z－eq \x\t(z)＝eq \f(2,i)＝－2i.
又z＋eq \x\t(z)＝2，∴(z－eq \x\t(z))＋(z＋eq \x\t(z))＝－2i＋2，
∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.
5．设f(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i)))n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．无数个
答案 C
解析 f(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－i,1＋i)))n＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，
∴集合中共有3个元素．
6．集合M＝{4，－3m＋(m－3)i}(其中i为虚数单位)，N＝{－9,3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为( )
A．－1 B．－3
C．3或－3 D．3
答案 D
解析 由题意可知－3m＋(m－3)i必为实数，则m＝3，经检验符合题意．
*7.若i为虚数单位，已知a＋bi＝eq \f(2＋i,1－i)(a，b∈R)，则点(a，b)与圆x2＋y2＝2的位置关系为( )
A．在圆外 B．在圆上
C．在圆内 D．不能确定
答案 A
解析 ∵a＋bi＝eq \f(2＋i,1－i)＝eq \f(2＋i1＋i,2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，))则a2＋b2＝eq \f(5,2)>2，
∴点(a，b)在圆x2＋y2＝2外．
8．已知i是虚数单位，则满足z－i＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 ∵z－i＝|3＋4i|＝5，∴z＝5＋i，
∴复数z在复平面上对应点在第一象限．
9．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，eq \f(2,3))
解析 z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－2