高中数学高考第五章 5 3平面向量的数量积-学生版(1)

这是一份高中数学高考第五章 5 3平面向量的数量积-学生版(1)，共10页。试卷主要包含了平面向量数量积的性质等内容，欢迎下载使用。
进门测
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是[0，eq \f(π,2)]．( )
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 平面向量数量积的运算
例1 (1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A．－eq \f(5,8) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(11,8)
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值为________；eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________．
(1)已知向量eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC等于( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))的值为________．
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 求向量的模
例2 (1)已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，且|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋2b，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a－6b，D为BC的中点，则|eq \(AD,\s\up6(→))|＝________.
(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，eq \r(3))，C(3,0)，动点D满足|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))|的最大值是________．
命题点2 求向量的夹角
例3 (1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cs α＝eq \f(1,3)，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cs β＝________.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________________．
(1)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝________.
(2)已知单位向量a和b满足|a＋b|＝eq \r(2)|a－b|，则a与b夹角的余弦值为( )
A．－eq \f(1,3) B．－eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
(3)在△ABC中，若A＝120°，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－1，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的最小值是( )
A.eq \r(2) B．2
C.eq \r(6) D．6
题型三 平面向量与三角函数
例4 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
(1)已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(3sin α，cs α)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2sin α，5sin α－4cs α)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，且eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(OB,\s\up6(→))，则tan α的值为( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(4,5)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
(2)已知向量a＝(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，eq \(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．
第3课时
阶段重难点梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
【知识拓展】
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b4，且tsin θ取最大值4时，求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→)).
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cs θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cs θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cs θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cs θ的乘积