高中数学高考29第五章 平面向量与复数 5 3 平面向量的数量积

§5.3　平面向量的数量积

1．两个向量的夹角

(1)定义

已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)范围

向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．

(3)向量垂直

如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.

2．向量在轴上的正射影

已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称        )，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的        或在轴l的方向上的        ．

＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.

3．向量的数量积

(1)向量的数量积(内积)的定义

|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)向量数量积的性质

①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；

②a⊥b⇔a·b＝0；

③a·a＝|a|2，|a|＝；

④cos〈a，b〉＝ (|a||b|≠0)；

⑤|a·b|≤|a||b|.

(3)向量数量积的运算律

①交换律：a·b＝b·a.

②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．

③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

(4)向量数量积的坐标运算与度量公式

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则

①a·b＝               ；

②a⊥b⇔               ；

③|a|＝；

④cos〈a，b〉＝.

概念方法微思考

1．a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？

2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量．(　 　)

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　 　)

(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　 　)

(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　 　)

(5)两个向量的夹角的范围是.(　 　)

(6)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　 　)

题组二　教材改编

2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.

3．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的正投影为________．

题组三　易错自纠

4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

方法二　(数形结合法)

由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.

又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.

5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的正投影为________．

6．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.

题型一　平面向量数量积的基本运算

1．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于(　　)

A．8  B．10  C．11  D．12

2．(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)

A．4  B．3  C．2  D．0

3．(2019·铁岭模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　　)

A.   B. 

C.   D.

题型二　平面向量数量积的应用

命题点1　求向量的模

例1 (1)(2019·抚顺模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且·＝－5，则||等于(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

(2)如果＝2，＝3，a·b＝4，则的值是(　　)

A．24   B．2

C．－24   D．－2

命题点2　求向量的夹角

例2 (1)(2018·通辽质检)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为(　　)

A.              B.              C.              D.

(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

跟踪训练1 (1)(2019·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.

(2)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)

A.              B.               C.                D.

题型三　平面向量与三角函数

例3  已知向量a＝，b＝，且x∈.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.

(1)若m⊥n，求tan x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

1．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为(　　)

A．1   B．－1

C．2   D．－2

3．(2018·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于(　　)

A．2   B.

C.   D．2

4．(2018·辽阳模拟)非零向量a，b 满足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b 与b 夹角θ的大小为(　　)

A．135°   B．120°

C．60°   D．45°

5．(2019·丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的正投影为(　　)

A．－1  B．1

C．－  D.

6．(2018·通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是(　　)

A．[－1,0]   B．[－1,2]

C．[－1,3]   D．[－1,4]

7．(2018·营口模拟)若平面向量a，b满足·b＝7，|a|＝，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________．

8．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，则a在b方向上的正投影为________．

9.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则·的值为________．

10.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边BC的中点，则·＝________.

11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a＋b|；

(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．

12．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求·(＋)的最小值．

13．(2018·南宁摸底)已知O是△ABC内部一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)

A.   B.

C.   D.

14．(2019·衡阳模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是(　　)

A.   B.

C.   D.

15.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝，BC＝2，点E为AB的中点，若·＝－2，则向量在向量上的投影为________．

16.如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，求·的最大值．