高中数学高考30第五章 平面向量与复数 5 3 平面向量的数量积

§5.3　平面向量的数量积

1.两个向量的夹角

(1)定义

已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则      称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.

(2)范围

向量夹角〈a，b〉的范围是      ，且      ＝〈b，a〉.

(3)向量垂直

如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作      .

2.向量在轴上的正射影

已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称      )，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的      或在轴l的方向上的      .

＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝      .

3.向量的数量积

(1)向量的数量积(内积)的定义

|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(2)向量数量积的性质

①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝            ；

②a⊥b⇔      ；

③a·a＝    ，|a|＝；

④cos〈a，b〉＝            ；

⑤|a·b|   |a||b|.

(3)向量数量积的运算律

①交换律：a·b＝    .

②对λ∈R，λ(a·b)＝      ＝      .

③分配律：(a＋b)·c＝      .

(4)向量数量积的坐标运算与度量公式

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则

①a·b＝            ；

②a⊥b⇔            ；

③|a|＝；

④cos〈a，b〉＝            .

概念方法微思考

1.a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影相同吗？

2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？

题组一　思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量在另一个向量方向上的正投影为数量，而不是向量.(　 　)

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　 　)

(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　 　)

(4)(a·b)c＝a(b·c).(　 　)

(5)两个向量的夹角的范围是.(　 　)

(6)若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.(　  　)

题组二　教材改编

2.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.

3.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的正投影为________.

题组三　易错自纠

4.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

5.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的正投影为________.

6.已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.

题型一　平面向量数量积的基本运算

1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于(　　)

A.8  B.10  C.11  D.12

2.(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)

A.4  B.3  C.2  D.0

3.(2019·铁岭模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　　)

A.  B.  C.  D.

题型二　平面向量数量积的应用

命题点1　求向量的模

例1　(1)(2019·抚顺模拟)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且·＝－5，则||等于(　　)

A.1  B.2  C.3  D.4

(2)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为(　　)

A.4  B.2  C.  D.1

命题点2　求向量的夹角

例2 (1)(2018·通辽质检)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)已知e1，e2是互相垂直的单位向量.若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________.

跟踪训练1 (1)(2019·锦州模拟)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.

(2)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

题型三　平面向量与三角函数

例3  已知向量a＝，b＝，且x∈.

(1)求a·b及|a＋b|；

(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值.

跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.

(1)若m⊥n，求tan x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值.

1.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

2.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k的值为(　　)

A.1  B.－1  C.2  D.－2

3.(2018·乌海模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于(　　)

A.2  B.  C.  D.2

4.(2018·辽阳模拟)非零向量a，b 满足：|a－b|＝|a|，a·(a－b)＝0，则a－b 与b 夹角θ的大小为(　　)

A.135°  B.120°  C.60°  D.45°

5.(2019·丹东模拟)已知两个单位向量a和b的夹角为60°，则向量a－b在向量a方向上的正投影为(　　)

A.－1  B.1  C.－  D.

6.(2018·通辽质检)已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则·的取值范围是(　　)

A.[－1,0]             B.[－1,2]         C.[－1,3]   D.[－1,4]

7.(2018·营口模拟)若平面向量a，b满足·b＝7，|a|＝，|b|＝2，则向量a与b的夹角为________.

8.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋b|＝，则a在b方向上的正投影为________.

9.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则·的值为________.

10.已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2且a·b＝1，若e为平面单位向量，则(a－b)·e的最大值为________.

11.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a＋b|；

(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积.

12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求·(＋)的最小值.

13.已知O是△ABC内部一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　)

A.  B.  C.  D.

14.(2019·阜新模拟)在△ABC中，∠A＝120°，·＝－3，点G是△ABC的重心，则||的最小值是(　　)

A.  B.  C.  D.

15.已知，是非零不共线的向量，设＝＋，定义点集A＝，当F1，F2∈A时，若对于任意的m≥3，当F1，F2不在直线PQ上时，不等式≤k恒成立，则实数k的最小值为________.

16.如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，求·的最大值.