北师大版高中数学选择性必修第一册3-1-1点在空间直角坐标系中的坐标课件

第三章内容索引自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑自主预习 新知导学一、空间直角坐标系1.(1)过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上分别建立数轴:x轴、y轴和z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作 坐标原点 ,x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作 坐标轴 ,通过每两条坐标轴的平面叫作 坐标平面 ,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.(2)右手螺旋法则,即伸出右手,让四指与大拇指垂直,并使四指先指向 x轴 正方向,然后让四指沿握拳方向旋转90°指向 y轴 正方向,此时大拇指的指向即为 z轴 正方向.我们也称这样的坐标系为右手系,如图3-1-1.图3-1-1 2. 下面表示空间直角坐标系的直观图中,是右手系的有(　　).A.①③ B.③ C.①② D.①②③答案:C① ② ③二、点在空间直角坐标系中的坐标1.在空间直角坐标系中,任意一点P与三元有序实数组(x,y,z)之间是一一对应的关系:P↔(x,y,z).三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标,记作 P(x,y,z) ,其中,x叫作点P的 横坐标 ,y叫作点P的 纵坐标 ,z叫作点P的 竖坐标 .2. 在空间直角坐标系中,下列各点位于yOz平面内的是(　　).A.(3,2,1) B.(2,0,0)C.(5,0,2) D.(0,-1,-3)解析:位于yOz平面内的点,其横坐标为0,其余坐标为任意实数,故点(0,-1,-3)在yOz平面内.答案:D合作探究 释疑解惑【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(4,-2,5).解法一:依据平移的方法,为了作出点M(4,-2,5),可以按如下步骤进行:(1)在x轴上取坐标为4的点M1;(2)将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向向左平移2个单位长度,得到点M2;(3)将点M2沿与z轴平行的方向向上平移5个单位长度,即可得到点M,如答图3-1-1.答图3-1-1 解法二:以O为一个顶点,构造过该顶点的三条棱长分别为4,2,5的长方体,使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴的正半轴、y轴的负半轴、z轴的正半轴上,则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点M,图示略.解法三:在x轴上取坐标为4的点,过此点作与x轴垂直的平面α;在y轴上取坐标为-2的点,过此点作与y轴垂直的平面β;在z轴上取坐标为5的点,过此点作与z轴垂直的平面γ,则平面α,β,γ交于一点,此交点即为所求的点M,图示略.1.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标有两个为0,则此点是坐标轴上的点,可直接在坐标轴上作出此点.2.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标有且只有一个为0,则此点不在坐标轴上,但在某一坐标平面内,可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点.3.若要作的点M(x0,y0,z0)的坐标都不为0,则需要按照一定的步骤作出该点,一般有三种方法:(1)先在x轴上取坐标为x0的点M1;再将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向向左(y0<0)或向右(y0>0)平移|y0|个单位长度,得到点M2;再将点M2沿与z轴平行的方向向上(z0>0)或向下(z0<0)平移|z0|个单位长度,即可得到点M(x0,y0,z0).(2)以原点O为一个顶点,构造过该顶点的三条棱长分别为|x0|,|y0|,|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0,y0,z0的符号一致),则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点M.(3)先在x轴上找到点M1(x0,0,0),过点M1作与x轴垂直的平面α,再在y轴上找到点M2(0,y0,0),过点M2作与y轴垂直的平面β,然后在z轴上找到点M3(0,0,z0),过点M3作与z轴垂直的平面γ,三个平面α,β,γ交于一点,此交点即为所求的点M.【例2】 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5 ,侧棱长为13,建立的空间直角坐标系如图3-1-2,写出各顶点的坐标.图3-1-2 1.若本例中的正四棱锥建立的空间直角坐标系如图3-1-3,试写出各顶点的坐标.解:各顶点分别为P(0,0,12),A(5,0,0),B(0,5,0),C(-5,0,0),D(0,-5,0).图3-1-3 2.若本例中的条件变为“正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10”,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.解:因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,所以正四棱锥的高为以正四棱锥的底面中心为原点,过点O分别作平行于BC,AB的直线为x轴、y轴,建立的空间直角坐标系如答图3-1-2,则正四棱锥各顶点分别为A(2,-2,0), B(2,2,0),C(-2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0, ).答图3-1-2 1.建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则:(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.(2)充分利用几何图形的对称性.2.如果点M是空间直角坐标系O-xyz中的任意一点,那么求点M的坐标的方法如下:先作MM'垂直xOy平面,垂足为M',求点M'的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐标为x,纵坐标为y,再求点M在z轴上投影的竖坐标z,点M的竖坐标为z,于是得到点M的坐标为(x,y,z).3.坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0,即(x,y,0).yOz平面上的点的横坐标为0,即(0,y,z).zOx平面上的点的纵坐标为0,即(x,0,z).4.坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0,即(x,0,0).y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0,即(0,y,0).z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0,即(0,0,z).【例3】 在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.解:(1)设点P关于x轴的对称点为P1,则点P,P1的横坐标相等,纵坐标、竖坐标互为相反数,故点P1的坐标为(-2,-1,-4).(2)设点P关于xOy平面的对称点为P2,则点P,P2的横坐标、纵坐标相等,竖坐标互为相反数,故点P2的坐标为(-2,1,-4).(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点.由中点坐标公式,可得即z=2×(-4)-4=-12,所以点P3的坐标为(6,-3,-12).空间中,点关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点:(1)关于坐标平面的对称点.即(2)关于坐标轴的对称点.即