北师大版高中数学选择性必修第一册2-3-2抛物线的简单几何性质课件

第二章内容索引自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑自主预习 新知导学抛物线的简单几何性质1.抛物线的简单几何性质 表2-3-2 2.若抛物线y2=2px上一点的横坐标为6,这点到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离是(　　).A.4 B.8 C.16 D.32解析:由抛物线的性质,可知10=6+ ,则p=8.所以焦点到准线的距离是8.答案:B合作探究 释疑解惑【例1】 已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2 ,求抛物线的方程.抛物线的几何性质(对称性、范围等)在解决抛物线问题时,有着广泛的应用,但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如抛物线的对称性、准线与对称轴垂直等,解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件.【例2】 如图2-3-1,已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.图2-3-1 若本例题改为:如图2-3-2,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.如何求解?图2-3-2 抛物线中过焦点的弦的常见结论如图2-3-3,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.(1)以AB为直径的圆必与准线l相切.(2)|AB|= (焦点弦长与中点关系).(3)|AB|=x1+x2+p.(4)若直线AB的倾斜角为α,则当α=90°时,AB叫作抛物线的通径,是所有过焦点的弦中最短的.(5)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即x1x2= ,y1y2=-p2.图2-3-3 【例3】 如图2-3-4,花坛水池中央有一喷泉,水管|O'P|=1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2 m,P距抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到1 m)答图2-3-4 解:如图2-3-4,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).依题意有P'(1,-1)在此抛物线上,将点P'的坐标代入x2=-2py得p= .故抛物线方程为x2=-y.在建立抛物线的方程时,以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标 轴建立平面直角坐标系,这样可使得方程不含常数项,形式更为简单,便于计算.利用抛物线中的对称性求参数的范围【典例】 若抛物线y=x2上存在关于直线y=m(x-3)(m≠0)对称的两点,求实数m的取值范围.1.解答本题需把握三个关键步骤(1)由题意设出与直线y=m(x-3)(m≠0)垂直且与抛物线y=x2有两个交点的直线方程,联立后得出Δ=1+4m2b>0.(2)利用线段AB的中点既在线段AB上,又在题中所给直线上,用m表示b.(3)代入Δ=1+4m2b转化为关于m的三次不等式.2.若A,B两点关于直线对称,则线段AB与这条直线垂直,且线段AB的中点在这条直线上,即这条直线是线段AB的垂直平分线.解决对称问题应注意充分利用条件,如斜率和截距等,同时还应注意各量之间的关系.