2023宣威六中高三下学期2月月考数学试题含解析

宣威市第六中学2022-2023年高三下学期2月月考数学试题高三数学考试时间：120分钟      命题人：数学教研组注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．复数满足，则复数的虚部为（    ）A． B．-1 C．1 D．2．已知，，，则（    ）A． B． C． D．53．为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（       ）A．5人 B．6人 C．7人 D．8人4．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．在中，若，则∠C=（    ）.A．60° B．120° C．135° D．150°6．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，从A市20名教师､B市15名教师和C市10名教师中，采取分层抽样的方法，抽取一个容量为n的样本，若A市抽取4人，则（    ）A．9 B．10 C．12 D．157．在中，，则三角形的形状为（    ）A．直角三角形 B．等边三角形C．锐角三角形 D．等腰三角形8．求值（    ）A．8 B．9 C．10 D．1 二、多选题(共0分)9．若，则下列不等式成立的是（    ）A． B．C． D．10．已知角为锐角，则（    ）A． B．C． D．11．若，则下列不等式成立的是（    ）A． B． C． D．12．下列叙述正确的是（    ）A．回归直线一定过样本点的中心B．在回归分析中，的模型比的模型拟合的效果好C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好D．某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃）的关系，得到回归方程，则气温为2℃时，一定可卖出142杯热饮 三、填空题13．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（℃）181310－1用电量（度）24343864 由表中数据，得线性回归方程，当气温为－5℃时，预测用电量的度数约为______．14．写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程：_______.①焦点在轴上；②离心率为.15．设，是函数（）的两个极值点，若，则的最小值为______．16．如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且.若，则___________；若，，，则___________. 四、解答题17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)证明：；(2)若，且，求.18．已知函数，.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围.19．已知直线与圆相交于，不同两点.(1)若，求的值；(2)设是圆上一动点，为坐标原点，若，求点到直线的最大距离．20．春见柑橘的学名是春见，俗称耙耙柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川､重庆､江西等地，四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了8棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量（单位：千克）和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格：未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量末使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量 第一棵第二棵第二棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵年产量3032333034303433 使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量 第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵年产量4039403742384242 已知该基地共有40亩地，每亩地有55棵春见柑橘树(1)根据这8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比；(2)已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克5元，市场销售价格为每千克10元.若该基地所有的春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元.21．已知曲线，其离心率为，焦点在x轴上.(1)求t的值；(2)若C与y轴交于A，B两点（点A位于点B的上方），直线y＝kx＋m与C交于不同的两点M，N，直线y＝n与直线BM交于点G，求证：当mn＝4时，A，G，N三点共线.22．已知：直线：与直线：交于点P．(1)求直线和交点P的坐标．(2)若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程．
参考答案：1．B【分析】先化简复数z，再利用复数的相关概念求解.【详解】解：因为，所以，所以复数的虚部为-1，故选：B2．C【分析】根据向量的数量积的性质，求向量的模长，可进行自身平方开根号，可得答案.【详解】由，可得，则，将，代入可得：，可得：，则，故选：C.3．C【分析】利用分层抽样的性质直接求解.【详解】依题意得：某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三的人数为：.故选：C.4．A【分析】由题意可得，从而可求出实数的取值范围【详解】解：因为复数在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：A5．B【分析】结合余弦定理求得正确答案.【详解】由，得，由于，所以.故选：B6．A【分析】根据分层抽样的抽样比公式即可求解.【详解】根据分层抽样的定义可得，解得.故选：A.7．D【分析】由正弦定理结合两角差的正弦公式可得答案.【详解】由正弦定理，因，则，又A，B为三角形内角，得B=A.而对于A，B，C选项，因题目条件不足，所以无法判断，则根据现有条件可得该三角形为等腰三角形.故选：D8．B【分析】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.【详解】因为，，所以，故选：B.9．AD【分析】利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A：由可得，故选项A正确；对于B：由可得，所以，故选项B不正确；对于C：当时，由可得，故选项C不正确；对于D：由可得，所以，所以，故选项D正确；故选：AD.10．BCD【分析】先根据题意确定，再逐一判断选项中的角所在的象限和对应三角函数值的正负即可.【详解】因为角为锐角，即，所以，为第二象限角，则，选项A错误；同理，，为第三象限角，则，B正确；，为第四象限角，则，C正确；，为第三象限角，则，D正确．故选：BCD．11．AC【分析】利用不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D.【详解】对于A：当时，，A成立；对于B：当时，，B不成立；对于C：当时，，即，C成立；对于D：，，，，即，D不成立.故选：AC.12．AC【分析】由线性回归方程的特点判断A和D；由相关系数与预报效果间的关系判断B；由残差图的形状与拟合效果间的关系判断C.【详解】对于A：回归直线一定过样本点的中心，故A正确；对于B：相关系数越大，说明拟合效果越好，故B错误；对于C：在残差图中,残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，说明模型的拟合效果越好，故C正确；对于D：把x=2代入回归方程，可得，说明气温为2℃时，预测可卖出142杯热饮，而不是一定可卖出142杯热饮.故D错误.故选：AC.13．70【分析】根据表格中的数据，求出数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法求出的值，再将，代入线性回归方程，即可得到预测用电量的度数．【详解】由表格，可得，即为：，又在回归方程上，，解得：，．当时，．故答案为：70．14．(答案不唯一).【分析】利用双曲线的离心率公式及焦点在轴上即可求解.【详解】由于双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.因为双曲线的离心率为，所以，解得.所以写出一个同时满足下列条件①②双曲线的标准方程可以为.故答案为：(答案不唯一).15．【分析】根据极值点定义可将问题转化为与有两个不同交点；化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，将参数分离出来，构造函数，即可得出.【详解】，是的两个极值点，是的两根，又当时，方程不成立，即，两式作比得到:==，所以，令，所以 令 ，则 令 ，则 所以在上单调递减，所以 所以在上单调递减，所以 令 ，则 恒成立所以在上单调递减，即故答案为：.16．          【分析】利用平面向量基本定理求解出及，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算.【详解】连接DF，因为，分别为，的中点，所以是△ABC的中位线，所以，则，所以，所以；，故故答案为：，17．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理进行化简证明.（2）利用向量的运算、模长公式以及正弦定理、余弦定理建立方程求解.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理可得，由余弦定理可得，整理得.（2）由得D为的中点，所以，所以，又，所以，因为，由（1）的解题过程可知，所以，即，解得（负值舍去），所以由正弦定理可得.18．(1)(2) 【分析】（1）直接求导后得到，直接写出切线即可；（2）直接求导确定单调性，端点作差确定最大值，得到不等式，结合单调性求解即可.(1)若，，，因为，，所以曲线在处的切线方程为.(2)由题意知，则，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.设，则当时，，所以当时，.则在上的最小值为，最大值为，所以，设，则当时，，单调递增，由，可得，即的取值范围是.19．(1)或2(2)1 【分析】（1）将l与C有两个交点转化为圆心到直线的距离小于半径，求出k的范围，根据即可解得k.（2）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示可得，从而判断出圆心在直线上，确定点到直线的最大距离为半径.（1）可整理为，圆心为，半径为1，直线的l一般式为，又∵直线与圆交于两点，∴，解得，∵，∴或2.（2）设，，将代入方程，整理得， ∴，，，由题设可得，解得，由（1）知，所以直线的方程为，可知圆心在直线上，∴到直线的最大距离即为半径为1．20．(1)；(2)万元 【分析】（1）分别求得未使用新技术和使用新技术后的年产量平均值，从而求得增加的百分比.（2）先求得使用新技术后的年总产量，然后计算总利润即可.(1)未使用新技术时的8棵春见相橘树的年产量的平均值：千克，使用了新技术后的8棵春见相橘树的年产量的平均值：千克，故可估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比约为.(2)该基地使用新技术后春见相橘的年总产量约为千克，故该基地使用新技术后春见相橘的年总利润约为万元.21．(1)2(2)证明见解析 【分析】（1）根据曲线的离心率可知曲线表示椭圆，从而确定 ，结合离心率求得答案;（2）设点M.N的坐标，联立直线和椭圆方程，得到根与系数的关系式，表示直线的方程，求得点G坐标，从而表示出直线和直线的斜率，然后结合根与系数的关系式，化简，证明二者相等，即可证明结论.（1）由曲线，其离心率为，焦点在x轴上.可知，曲线是焦点在轴上的椭圆，则其方程可化为，所以必须满足：，解得，因的离心率为，，即 ，故，解得.（2）由（1）可知的方程为，所以，.把代入，整理得，设，，则，，因为点，所以直线的方程为：.令，得，所以.因为点，所以直线的斜率为，直线的斜率为.所以.其中，当时，上式等于0，即，这说明，，三点共线.【点睛】本题考查了根据曲线表示椭圆求参数的值，以及直线和椭圆的位置关系等问题，其中证明三点共线是难点，解答时要注意解答思路要清晰明确，即将直线和椭圆方程联立，利用根与系数的关系去表示或化简相关的代数式，解答的关键是证明有公共点的两直线斜率相等，其中的计算量较大，并且比较繁杂，要细心.22．(1)(2)或 【解析】(1)解方程组 ，解得 ，∴点的坐标为,(2)直线的斜率显然存在且不为0，设：令，得，令，得，所以∴，∴或，得为：或