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高中数学高考6 第6讲 二项分布及其应用
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这是一份高中数学高考6 第6讲 二项分布及其应用，共18页。试卷主要包含了条件概率，事件的相互独立性，独立重复试验与二项分布等内容，欢迎下载使用。
第6讲 二项分布及其应用
最新考纲
考向预测
1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系．
2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
命题趋势
条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复事件、二项分布和正态分布仍是高考考查的热点，三种题型均有可能出现．
核心素养
数据分析、数学建模
1．条件概率
(1)定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
(2)性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；
②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．事件的相互独立性
(1)定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，
P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
独立重复试验
二项分布
定义
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率
计算公式
用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An)
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)
常用结论
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．两个概率公式
(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝.注意其与P(B|A)的不同．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
常见误区
运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( )
(2)相互独立事件就是互斥事件．( )
(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( )
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( )
(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(易错题)天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
解析：选C.设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，
则两地恰有一地降雨为A＋B，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
3．先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且x≠y”，则概率P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.
4．设随机变量X～B，则P(X＝3)＝________．
解析：因为X～B，所以P(X＝3)＝C×＝.
答案：
5．(2020·高考天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1－)×(1－)＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.
答案：
条件概率
(1)某道数学试题含有两问，当第一问正确做对时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为( )
A．0.9 B．0.8
C．0.72 D．0.576
(2)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为＝0.8.既做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为＝0.72.设“做对第一问”为事件A，“做对第二问”为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率P(B|A)＝＝＝0.9，故选A.
(2)P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝.
【答案】 (1)A (2)B
【引申探究】 (变条件)将本例(2)中的“和”改为“积”，求P(B|A)．
解：事件A：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，所以P(A)＝.事件B：“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2，4)，所以P(AB)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
条件概率的两种求解方法
1．(2021·云南师大附中月考)小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
解析：选D.记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(AB)＝0.2，则P(B|A)＝＝＝0.5.故选D.
2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝.
相互独立事件的概率
(2020·高考全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
【解】 (1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝.
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为.
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
1．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为两人加工零件成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.
2．(2021·沈阳市教学质量检测(一))在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并超过对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：
(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率．
(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一球的发球权．设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x)．
解：(1)依题意，若甲队赢得整场比赛，则甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛．若甲队以3∶1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，
若甲队以3∶2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．
故甲队最后赢得整场比赛的概率为＋×＝.
(2)依题意，每次发球，发球队得分的概率为，接球队得分的概率为.甲接下来可以以16∶14或17∶15赢得比赛，故x的取值为2或4.
若甲、乙比分为16∶14，则x的取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，
所以P(x＝2)＝×＝.
若甲、乙比分为17∶15，则x的取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，
所以P(x＝4)＝×××＋×××＝.
独立重复试验与二项分布
(2021·合肥第一次教学检测)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列．
【解】 (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，
若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为P＝C×＋C×＝.
(2)X的可能取值为0，1，2，3.
则P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C×＝，P(X＝3)＝C＝，所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(1)独立重复试验的特点
①每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
(2)判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))
①X的取值为0，1，2，…，n；
②P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p为试验成功的概率)．
[提醒] 在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
为了拓展网络市场，某公司为手机客户端用户推出了多款APP应用 ，如“农场”“音乐”“读书”等．市场调查表明，手机用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为，，.现有甲、乙、丙三位手机客户端用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加．
(1)求三人所选择的应用互不相同的概率；
(2)记ξ为三人中选择的应用是农场与音乐的人数，求ξ的分布列．
解：记第i名用户选择的应用是农场、音乐、读书分别为事件Ai.Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1，2，3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝.
(1)他们选择的应用互不相同的概率
P＝3！·P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝.
(2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是η，由已知得η～B，且ξ＝3－η，
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C××＝＝，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C××＝＝，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C×＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
[A级 基础练]
1．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.硬币正面向上的次数服从二项分布，即X～B，由二项分布概率公式知，三次均反面向上的概率是＝，所以至少一次正面向上的概率是1－＝.故选D项．
2．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.记“第i(i＝1，2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1，2)，依题意知，要求的概率为P(A2|A1)．
由P(A1)＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝＝.
3．(2021·山东烟台第一中学联考)首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有一家购买该机床设备的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.记“甲企业购买该机床设备”为事件A，“乙企业购买该机床设备”为事件B，“丙企业购买该机床设备”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝1－P(A)＝，P()＝1－P(B)＝，P()＝1－P(C)＝.记“三家企业中恰有一家购买该机床设备”为事件D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝.故选C.
4．(多选)(2020·山东潍坊临朐模拟)下列说法正确的是( )
A.的展开式中含x2y3项的二项式系数为20
B．事件A∪B为必然事件，则事件A、B是互为对立事件
C．am2>bm2是a>b的充分不必要条件
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则P(A|B)＝
解析：选CD.A.的展开式的通项为Tk＋1＝C··(－2y)k，要求含x2y3项的二项式系数，则k＝3，所求二项式系数为C＝10，故A错误；B.事件A∪B为必然事件无法说明事件A、B是互为对立事件，缺少A∩B为不可能事件的条件，故B错误；C.因为am2>bm2，所以a>b，但a>b且m＝0时有am2＝bm2，所以a>b时，am2>bm2不一定成立，故C正确．D.P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，则P(A|B)＝＝，故D正确．
5．(2021·江西五校联考)非洲成员代表团团长及相关的人员参加了中非合作论坛北京峰会，会后某记者在场地外随机进行采访，假设第一次采访到的人恰好是参会的代表团团长的概率为0.7，连续两次采访到的人都是代表团团长的概率为0.6，则在第一次采访到的人是代表团团长的条件下，第二次采访到的也是代表团团长的概率为________．
解析：记“第一次采访到的人是代表团团长”为事件A，“第二次采访到的人是代表团团长”为事件B，则P(A)＝0.7，P(AB)＝0.6，则P(B|A)＝＝.
答案：
6．一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p，6p∈N，若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，则n＝________．
解析：由题设知，Cp2(1－p)2>，因为p(1－p)>0，所以不等式化为p(1－p)>，解得
7．为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2019年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立．根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率．
(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率p1和进入“心理社”的概率p2；
(2)学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分，求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率．
解：(1)根据题意得所以p1＝，p2＝.
(2)设该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为ξ，
则P(ξ＝1)＝×＝，
P(ξ＝1.5)＝×＝，
所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率为P＝＋＝.
8．(2021·湖北省部分重点中学10月联考)某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛培训的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学的这四门课程考试是否合格相互独立，每门课程考试合格的概率均相同(见下表)，且各个同学每一门课程考试是否合格相互独立．
课程
初等代数
初等几何
初等数论
微积分初步
考试合格的概率
(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛培训的资格的概率；
(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛培训的资格的人数，求ξ的分布列．
解：(1)分别记甲初等代数课程、初等几何课程、初等数论课程、微积分初步课程考试合格为事件A，B，C，D，则“甲能取得参加数学竞赛复赛培训的资格”的概率为P(ABCD)＋P(ABC)＋P(ABD)，事件A，B，C，D相互独立，
故P(ABCD)＋P(ABC)＋P(ABD)＝×××＋×××＋×××＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由(1)可得，每位同学取得参加数学竞赛复赛培训资格的概率为，且ξ～B，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C××＝，P(ξ＝3)＝＝.
因此，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
[B级 综合练]
9．博彩公司曾经对当年NBA总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛，前4场，马刺队胜利的概率为，第5，6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为.
(1)分别求马刺队以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率；
(2)随机变量X为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X的分布列．
解：(1)设“马刺队以4∶0胜利”为事件A，“马刺队以4∶1胜利”为事件B，“马刺队以4∶2胜利”为事件C，“马刺队以4∶3胜利”为事件D，“总决赛马刺队获得冠军”为事件E，
则P(A)＝＝，
P(B)＝C××＝，
P(C)＝C×××＋C××＝，
P(D)＝C××＋C××C×××＋C××××＝.
所以P(E)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝.
(2)随机变量X的可能取值为4，5，6，7，P(X＝4)＝×2＝，P(X＝5)＝C××＝，P(X＝6)＝2C×××＋C××＝，P(X＝7)＝1－P(X＝4)－P(X＝5)－P(X＝6)＝.
所以随机变量X的分布列为
X
4
5
6
7
P
10.(2020·武汉部分学校质量检测)武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片．为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列；
(2)(i)若从游客中随机抽取m人，记总得分恰为m的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；
(ii)在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．
解：(1)X的可能取值为3，4，5，6.
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝C＝，
P(X＝5)＝C＝，P(X＝6)＝C＝.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)(i)总得分恰为m的概率Am＝，
所以数列{Am}是首项为，公比为的等比数列，
前10项和S10＝＝.
(ii)已调查过的累计得分恰为n的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得(n－1)分，再得2分，概率为Bn－1，B1＝.
所以1－Bn＝Bn－1，即Bn＝－Bn－1＋1，
所以Bn－＝－.
所以Bn－＝·，
所以Bn＝－＝＋.
[C级 创新练]
11．(2020·武汉部分学校质量检测)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．给出下列说法：
①P(A)＝P(B)＝P(C)；②P(AB)＝P(AC)＝P(BC)；③P(ABC)＝；④P(A)P(B)P(C)＝.其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选D.由古典概型的概率计算公式，得P(A)＝P(B)＝＝，P(C)＝＝，所以P(A)＝P(B)＝P(C)＝，①正确；P(A)P(B)P(C)＝，④正确；
而事件A，B，C不可能同时发生，故P(ABC)＝0，所以③不正确；又P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，P(BC)＝＝，所以P(AB)＝P(AC)＝P(BC)，②正确．故选D.
12.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，，求小球落入A袋中的概率．
解：方法一：由题意知，小球落入A袋中的概率为：P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
方法二：因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以小球落入A袋中的概率为C··＋C··＝.
第6讲 二项分布及其应用
最新考纲
考向预测
1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系．
2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
命题趋势
条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复事件、二项分布和正态分布仍是高考考查的热点，三种题型均有可能出现．
核心素养
数据分析、数学建模
1．条件概率
(1)定义
设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
(2)性质
①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；
②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．事件的相互独立性
(1)定义
设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，
P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
独立重复试验
二项分布
定义
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率
计算公式
用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An)
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)
常用结论
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
2．两个概率公式
(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝.注意其与P(B|A)的不同．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
常见误区
运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( )
(2)相互独立事件就是互斥事件．( )
(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( )
(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( )
(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(易错题)天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
解析：选C.设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，
则两地恰有一地降雨为A＋B，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
3．先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且x≠y”，则概率P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
解析：选A.因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.
4．设随机变量X～B，则P(X＝3)＝________．
解析：因为X～B，所以P(X＝3)＝C×＝.
答案：
5．(2020·高考天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1－)×(1－)＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.
答案：
条件概率
(1)某道数学试题含有两问，当第一问正确做对时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为( )
A．0.9 B．0.8
C．0.72 D．0.576
(2)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 (1)做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为＝0.8.既做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为＝0.72.设“做对第一问”为事件A，“做对第二问”为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率P(B|A)＝＝＝0.9，故选A.
(2)P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝＝.
【答案】 (1)A (2)B
【引申探究】 (变条件)将本例(2)中的“和”改为“积”，求P(B|A)．
解：事件A：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，所以P(A)＝.事件B：“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2，4)，所以P(AB)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
条件概率的两种求解方法
1．(2021·云南师大附中月考)小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是( )
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
解析：选D.记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(AB)＝0.2，则P(B|A)＝＝＝0.5.故选D.
2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝.
相互独立事件的概率
(2020·高考全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率；
(2)求需要进行第五场比赛的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
【解】 (1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．
比赛四场结束，共有三种情况：
甲连胜四场的概率为；
乙连胜四场的概率为；
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝.
(3)丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为.
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，.
因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝.
利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
1．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为两人加工零件成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.
2．(2021·沈阳市教学质量检测(一))在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并超过对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：
(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率．
(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一球的发球权．设两队打了x(x≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P(x)．
解：(1)依题意，若甲队赢得整场比赛，则甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛．若甲队以3∶1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，
若甲队以3∶2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢．
故甲队最后赢得整场比赛的概率为＋×＝.
(2)依题意，每次发球，发球队得分的概率为，接球队得分的概率为.甲接下来可以以16∶14或17∶15赢得比赛，故x的取值为2或4.
若甲、乙比分为16∶14，则x的取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，
所以P(x＝2)＝×＝.
若甲、乙比分为17∶15，则x的取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，
所以P(x＝4)＝×××＋×××＝.
独立重复试验与二项分布
(2021·合肥第一次教学检测)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．
(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列．
【解】 (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，
若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为P＝C×＋C×＝.
(2)X的可能取值为0，1，2，3.
则P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C×＝，P(X＝3)＝C＝，所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(1)独立重复试验的特点
①每次试验中，事件发生的概率是相同的；
②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
(2)判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))
①X的取值为0，1，2，…，n；
②P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p为试验成功的概率)．
[提醒] 在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
为了拓展网络市场，某公司为手机客户端用户推出了多款APP应用 ，如“农场”“音乐”“读书”等．市场调查表明，手机用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为，，.现有甲、乙、丙三位手机客户端用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加．
(1)求三人所选择的应用互不相同的概率；
(2)记ξ为三人中选择的应用是农场与音乐的人数，求ξ的分布列．
解：记第i名用户选择的应用是农场、音乐、读书分别为事件Ai.Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1，2，3且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝.
(1)他们选择的应用互不相同的概率
P＝3！·P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝.
(2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是η，由已知得η～B，且ξ＝3－η，
所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C××＝＝，
P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C××＝＝，
P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C×＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
[A级 基础练]
1．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.硬币正面向上的次数服从二项分布，即X～B，由二项分布概率公式知，三次均反面向上的概率是＝，所以至少一次正面向上的概率是1－＝.故选D项．
2．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.记“第i(i＝1，2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1，2)，依题意知，要求的概率为P(A2|A1)．
由P(A1)＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝＝.
3．(2021·山东烟台第一中学联考)首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有一家购买该机床设备的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.记“甲企业购买该机床设备”为事件A，“乙企业购买该机床设备”为事件B，“丙企业购买该机床设备”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝1－P(A)＝，P()＝1－P(B)＝，P()＝1－P(C)＝.记“三家企业中恰有一家购买该机床设备”为事件D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝.故选C.
4．(多选)(2020·山东潍坊临朐模拟)下列说法正确的是( )
A.的展开式中含x2y3项的二项式系数为20
B．事件A∪B为必然事件，则事件A、B是互为对立事件
C．am2>bm2是a>b的充分不必要条件
D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“甲独自去一个景点”，则P(A|B)＝
解析：选CD.A.的展开式的通项为Tk＋1＝C··(－2y)k，要求含x2y3项的二项式系数，则k＝3，所求二项式系数为C＝10，故A错误；B.事件A∪B为必然事件无法说明事件A、B是互为对立事件，缺少A∩B为不可能事件的条件，故B错误；C.因为am2>bm2，所以a>b，但a>b且m＝0时有am2＝bm2，所以a>b时，am2>bm2不一定成立，故C正确．D.P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，则P(A|B)＝＝，故D正确．
5．(2021·江西五校联考)非洲成员代表团团长及相关的人员参加了中非合作论坛北京峰会，会后某记者在场地外随机进行采访，假设第一次采访到的人恰好是参会的代表团团长的概率为0.7，连续两次采访到的人都是代表团团长的概率为0.6，则在第一次采访到的人是代表团团长的条件下，第二次采访到的也是代表团团长的概率为________．
解析：记“第一次采访到的人是代表团团长”为事件A，“第二次采访到的人是代表团团长”为事件B，则P(A)＝0.7，P(AB)＝0.6，则P(B|A)＝＝.
答案：
6．一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p，6p∈N，若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，则n＝________．
解析：由题设知，Cp2(1－p)2>，因为p(1－p)>0，所以不等式化为p(1－p)>，解得
7．为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2019年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立．根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率．
(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率p1和进入“心理社”的概率p2；
(2)学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分，求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率．
解：(1)根据题意得所以p1＝，p2＝.
(2)设该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为ξ，
则P(ξ＝1)＝×＝，
P(ξ＝1.5)＝×＝，
所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率为P＝＋＝.
8．(2021·湖北省部分重点中学10月联考)某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛培训的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学的这四门课程考试是否合格相互独立，每门课程考试合格的概率均相同(见下表)，且各个同学每一门课程考试是否合格相互独立．
课程
初等代数
初等几何
初等数论
微积分初步
考试合格的概率
(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛培训的资格的概率；
(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛培训的资格的人数，求ξ的分布列．
解：(1)分别记甲初等代数课程、初等几何课程、初等数论课程、微积分初步课程考试合格为事件A，B，C，D，则“甲能取得参加数学竞赛复赛培训的资格”的概率为P(ABCD)＋P(ABC)＋P(ABD)，事件A，B，C，D相互独立，
故P(ABCD)＋P(ABC)＋P(ABD)＝×××＋×××＋×××＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由(1)可得，每位同学取得参加数学竞赛复赛培训资格的概率为，且ξ～B，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C××＝，P(ξ＝3)＝＝.
因此，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
[B级 综合练]
9．博彩公司曾经对当年NBA总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛，前4场，马刺队胜利的概率为，第5，6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为.
(1)分别求马刺队以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率；
(2)随机变量X为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X的分布列．
解：(1)设“马刺队以4∶0胜利”为事件A，“马刺队以4∶1胜利”为事件B，“马刺队以4∶2胜利”为事件C，“马刺队以4∶3胜利”为事件D，“总决赛马刺队获得冠军”为事件E，
则P(A)＝＝，
P(B)＝C××＝，
P(C)＝C×××＋C××＝，
P(D)＝C××＋C××C×××＋C××××＝.
所以P(E)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝.
(2)随机变量X的可能取值为4，5，6，7，P(X＝4)＝×2＝，P(X＝5)＝C××＝，P(X＝6)＝2C×××＋C××＝，P(X＝7)＝1－P(X＝4)－P(X＝5)－P(X＝6)＝.
所以随机变量X的分布列为
X
4
5
6
7
P
10.(2020·武汉部分学校质量检测)武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片．为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列；
(2)(i)若从游客中随机抽取m人，记总得分恰为m的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；
(ii)在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．
解：(1)X的可能取值为3，4，5，6.
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝C＝，
P(X＝5)＝C＝，P(X＝6)＝C＝.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P
(2)(i)总得分恰为m的概率Am＝，
所以数列{Am}是首项为，公比为的等比数列，
前10项和S10＝＝.
(ii)已调查过的累计得分恰为n的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得(n－1)分，再得2分，概率为Bn－1，B1＝.
所以1－Bn＝Bn－1，即Bn＝－Bn－1＋1，
所以Bn－＝－.
所以Bn－＝·，
所以Bn＝－＝＋.
[C级 创新练]
11．(2020·武汉部分学校质量检测)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．给出下列说法：
①P(A)＝P(B)＝P(C)；②P(AB)＝P(AC)＝P(BC)；③P(ABC)＝；④P(A)P(B)P(C)＝.其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选D.由古典概型的概率计算公式，得P(A)＝P(B)＝＝，P(C)＝＝，所以P(A)＝P(B)＝P(C)＝，①正确；P(A)P(B)P(C)＝，④正确；
而事件A，B，C不可能同时发生，故P(ABC)＝0，所以③不正确；又P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，P(BC)＝＝，所以P(AB)＝P(AC)＝P(BC)，②正确．故选D.
12.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为，，求小球落入A袋中的概率．
解：方法一：由题意知，小球落入A袋中的概率为：P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
方法二：因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A袋，所以小球落入A袋中的概率为C··＋C··＝.
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