高中数学高考第一编 第6讲

这是一份高中数学高考第一编 第6讲，共11页。
方法1 巧妙计算法
对于计算型的试题，多通过直接计算求解结果，这是解决填空题的基本方法，即直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙的变形，简化计算过程，直接得到结果．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法．
例1 (1)(2019·高三第三次全国大联考)在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，若cs(C－A)＝eq \f(1,2)，则sinB＝________.
答案 eq \f(5\r(3),14)
解析 在线段AB上取点D，使得CD＝AD，设AD＝x，则BD＝3－x，因为cs(C－A)＝eq \f(1,2)，即cs∠BCD＝eq \f(1,2)，
所以在△BCD中，由余弦定理可得(3－x)2＝x2＋4－4x·eq \f(1,2)，解得x＝eq \f(5,4)，在△BCD中，由正弦定理可得eq \f(CD,sinB)＝eq \f(BD,sin∠BCD)，因为CD＝eq \f(5,4)，BD＝3－x＝eq \f(7,4)，sin∠BCD＝eq \f(\r(3),2)，所以sinB＝eq \f(5\r(3),14).
(2)(2019·大连市模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)>f(x－2)的解集为________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 ∵函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(2x－1)>f(x－2)可转化为f(|2x－1|)>f(|x－2|)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(2x－1)>f(x－2)⇔|2x－1|>|x－2|，两边平方解得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故f(2x－1)>f(x－2)的解集为x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活运用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速、准确地解决数学填空题的关键．
1．(2019·长春市高三质量监测)某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有________种．
答案 36
解析 因为某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，所以有1个班级一定会安排2名教师，
故第一步：先安排2名教师到1个班级实习，有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)＝6×3＝18种，
第二步：将剩下的2名教师安排到相应的2个班级实习，有Aeq \\al(2,2)＝2种，根据分步乘法计数原理得这个问题的分配方案共有18×2＝36种．
2．设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝________.
答案 eq \f(\r(2),10)
解析 ∵α为锐角，∴α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))))＝eq \f(4,5).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cseq \f(π,4)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))sineq \f(π,4)
＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).
方法2 特殊值代入法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．
例2 (1)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任意的x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．
答案 (－1，＋∞)
解析 解法一：(特殊函数法)令f(x)＝3x＋5，则由3x＋5＞2x＋4，得x＞－1.
解法二：令函数g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0，所以原不等式可化为g(x)＞g(－1)，由g(x)的单调性可得x＞－1.
(2)如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K为AO上一点，且eq \(AO,\s\up6(→))＝2eq \(AK,\s\up6(→))，经过K的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n＝________.
答案 4
解析 当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线(∵eq \(AO,\s\up6(→))＝2eq \(AK,\s\up6(→))，∴K是AO的中点)，这时由于有eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，因此m＝n＝2，故m＋n＝4.
求值或比较大小关系等问题均可利用取特殊值代入求解，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．
1．(2019·温州高三2月高考适应性测试)若x6＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a5(x＋1)5＋a6(x＋1)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________，a5＝________.
答案 0 －6
解析 令x＝0，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6；又x6＝[(x＋1)－1]6＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a5(x＋1)5＋a6(x＋1)6，将x＋1视为一个整体，则a5为二项式展开式中(x＋1)5的系数，展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)(x＋1)6－r(－1)r，令r＝1，则(x＋1)5的系数的值为Ceq \\al(1,6)(－1)1＝－6.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则eq \f(csA＋csC,1＋csAcsC)＝________.
答案 eq \f(4,5)
解析 解法一：(取特殊值)a＝3，b＝4，c＝5，则
csA＝eq \f(4,5)，csC＝0，eq \f(csA＋csC,1＋csAcsC)＝eq \f(4,5).
解法二：(取特殊角)A＝B＝C＝eq \f(π,3)，csA＝csC＝eq \f(1,2)，eq \f(csA＋csC,1＋csAcsC)＝eq \f(4,5).
方法3 推理法
对于概念与性质的判断等类型的题目，应按照相关的定义、性质、定理等进行合乎逻辑的推演和判断，有时涉及多选型的问题，尤其是新定义问题，必须进行严密的逻辑推理才能得到正确的结果．
例3 (1)(2019·洛阳市高三第三次统考)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是________．
答案 乙
解析 根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书．丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙>丙>学习委员，由此得到乙不是学习委员，故乙是班长．
(2)(2019·衡水市全国普通高中高三大联考)现有一场专家报告会，张老师带甲、乙、丙、丁四位同学参加，其中有一个特殊位置可与专家近距离交流，张老师看出每个同学都想去坐这个位置，因此给出一个问题，谁能猜对，谁去坐这个位置．问题如下：某班10位同学参加一次全年级的高二数学竞赛，最后一道题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．听完后，四个同学给出猜测如下：甲猜：D或E答对了；乙猜：C不可能答对；丙猜：A，B，F当中必有1人答对了；丁猜：D，E，F都不可能答对，在他们回答完后，张老师说四人中只有1人猜对，则张老师把特殊位置给了________．
答案 丁
解析 ①若同学A做对了，则乙、丙、丁猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；②若同学B做对了，则乙、丙、丁猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；③若同学C做对了，则丁猜对了，与题设相符，故满足题意；④若同学D做对了，则甲、乙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；⑤若同学E做对了，则甲、乙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意；⑥若同学F做对了，则乙、丙猜对了，与题设矛盾，故不符合题意．综上可知，同学C做对了，丁猜对了．故张老师把特殊位置给了丁．
推理法讲究“推之有理，推之有据”，在推理的过程中要严格按照定义的法则和相关的定理进行，归纳推理和类比推理也要依据自身的推理法则，不能妄加推测．
1．(2019·延安市模拟)甲、乙、丙三位教师分别在延安、咸阳、宝鸡的三所中学里教不同的学科A，B，C，已知：①甲不在延安工作，乙不在咸阳工作；②在延安工作的教师不教C学科；③在咸阳工作的教师教A学科；④乙不教B学科．
可以判断乙工作的地方和教的学科分别是________、________.
答案 宝鸡 C
解析 由③得在咸阳工作的教师教A学科；又由①得乙不在咸阳工作，所以乙不教A学科；由④得乙不教B学科，结合③乙不教A学科，可得乙必教C学科，由②得乙不在延安工作，由①得乙不在咸阳工作；所以乙在宝鸡工作，综上，乙工作的地方和教的学科分别是宝鸡和C学科．
2．求“方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)))x＝1的解”有如下解题思路：设函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)))x，则函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，方程x6＋x2＝(2－x)3＋2－x的解集为________．
答案 {1，－2}
解析 类比上述解题思路，设f(x)＝x3＋x，由于f′(x)＝3x2＋1＞0，所以函数f(x)＝x3＋x在R上单调递增，又x6＋x2＝(2－x)3＋2－x，即(x2)3＋x2＝(2－x)3＋2－x，所以x2＝2－x，解得x＝1或x＝－2，
所以方程x6＋x2＝(2－x)3＋2－x的解集为{1，－2}．
方法4 图象分析法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题．韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．
例4 (1)若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,e)，0))
解析 令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图象有两个交点．由g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)＜0，即ln x＜－1，可解得0＜x