2023学年上海市虹口区九年级中考一模数学试卷（含答案）

2023学年上海市虹口区九年级中考一模数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

2．如图，在中，，那么的值为（    ）

A． B．2 C． D．

3．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（    ）

A． B． C． D．

5．如果点与点都在抛物线上，那么和的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

6．如图，点分别在Δ边上，，且，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

7．已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________．

8．计算：__________．

9．抛物线与轴的交点坐标是___________．

10．沿着轴正方向看，抛物线在其对称轴右侧的部分是___________的．（填“上升”或“下降”）

11．在平面直角坐标系中，将抛物线沿着轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为__________________．

12．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：

如果点在此抛物线上，那么___________．

13．已知，顶点分别与对应，，的平分线的长为6，那么的平分线的长为________．

14．如图，在中，点在边上，已知和的面积比是，，，那么用向量表示向量为________．

15．如图，在梯形中，，点分别在边上且，已知，，那么的长是________．

16．如图，在中，，点为的重心，过点作交于点．已知，那么的长为________．

17．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形、四边形和四边形都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为_________________．

18．我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”在直线上（点在点的左侧），点在直线上，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，那么的长为____________．

三、解答题

19．计算：cos245°＋cot230°.

20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．

(1)求此抛物线的表达式及点的坐标；

(2)将此抛物线沿轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点，求的值．

21．如图，在中，，点在边上，且，过点作交边于点，的平分线交线段于点，求的长．

22．如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知．

(1)如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长；

(2)现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号）

（参考数据：；）

23．如图，在四边形中，对角线与交于点，．

(1)求证：；

(2)过点作交于点，求证：．

24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点A．

(1)如果点A的坐标为，点在抛物线上，联结．

①求顶点P和点B的坐标；

②过抛物线上点D作轴，垂足为M，交线段于点E，如果，求点D的坐标；

(2)联结，如果与x轴负半轴的夹角等于与的和，求k的值．

25．如图，在中，，点分别在边上，满足．点是延长线上一点，且．

(1)当点是的中点时，求的值；

(2)如果，求的值；

(3)如果是等腰三角形，求的长．

参考答案：

1．A

【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．

【详解】设这个斜坡的坡角为α，

由题意得：tanα=1:.=，

∴α=30°；

故选A.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

2．C

【分析】先利用勾股定理求解，再利用余弦的定义直接求解即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查的是勾股定理，锐角的余弦的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．

3．D

【分析】根据已知条件中二次函数的图象有最低点，可知抛物线的开口方向向上；利用抛物线的开口方向和二次项系数有关，再结合抛物线开口向上，得到，由此即可得到的取值范围．

【详解】解：∵二次函数的图像有最低点，

函数图象开口向上，

则，

解得．

故选D．

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题关键．

4．B

【分析】根据二次函数的图象与解析式中字母系数之间关系解答即可．

【详解】解：A、图象的开口向下，则，此选项不符合题意；

B、对称轴在y轴右边且，则，此选项符合题意；

C、图象与y轴正半轴相交，则，此选项不符合题意；

D、，此选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查二次函数的图象与各项系数间的关系，熟知二次函数的图象与各项字母系数之间关系是解答的关键．

5．B

【分析】根据二次函数图像与性质，对于比较二次函数的值大小，只需要比较相应点到对称轴距离即可得到答案．

【详解】解：点与点都在抛物线上，

抛物线对称轴为，

到对称轴距离为；到对称轴距离为，

抛物线中二次项系数为正，开口向上，

抛物线上的点离对称轴越近值越小，即，

故选：B．

【点睛】本题考查二次函数值大小比较，熟练掌握二次函数图形与性质、掌握二次函数值大小比较的方法步骤是解决问题的关键．

6．A

【分析】根据与，即可得到ΔΔ，即可得到，结合即可得到的值；

【详解】解：∵，，

∴ΔΔ，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故选A．

【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据分式的性质得到与的关系．

7．4

【分析】根据比例中项的概念，可得，可得，即可得到的值，注意线段的长为正数．

【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，且，，

∴，

∴，

解得，

又∵线段的长度是正数，

∴．

故答案为：

【点睛】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方；求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．根据比例中项的概念列出比例式是解答本题的关键．

8．

【分析】按照向量线性运算法则计算即可．

【详解】解：，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了向量的线性运算，掌握向量的运算法则是解题关键．

9．

【分析】令得出y的值，从而得出与轴的交点坐标．

【详解】令，

得，

抛物线与轴的交点坐标是，

故答案为：．

【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y轴交点的求法是解题的关键．

10．下降

【分析】根据二次函数的性质解答即可．

【详解】解：因为，

所以抛物线在对称轴右侧部分是下降的，

故答案为：下降．

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．

11．

【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，进行计算即可．

【详解】解：将抛物线沿着y轴向下平移2个单位长度所得抛物线解析式为：；

故答案为：．

【点睛】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规律，是解题的关键．

12．

【分析】根据题目表中数据，利用待定系数法确定函数关系式，再由点在此抛物线上，代值求解即可得到答案．

【详解】解：由题意可得，

，解得，

抛物线解析式为，

点在此抛物线上，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查二次函数求值，涉及待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数解析式的求法是解决问题的关键．

13．

【分析】根据题意，作出图形，根据，由三角形相似的性质得到，再由三角形相似的性质即可得到答案．

【详解】解：如图所示：

，，

，，

是的角平分线，是的角平分线，

，

，

，

的平分线的长为6，

的平分线的长为，

故答案为：．

【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，熟练掌握两个三角形相似对应角相等、对应边成比例是解决问题的关键．

14．

【分析】由题中和的面积比是，根据三角形“等高”的面积表示即可知道，根据平面向量的加法运算可知，从而得到答案．

【详解】解：过作，如图所示：

和的面积比是，

，

，

，，

用向量表示向量为

，

故答案为：．

【点睛】本题考查向量运算，涉及三角形面积、向量加法运算及向量共线等知识，熟练掌握向量的相关表示是解决问题的关键．

15．6

【分析】由题中，，得到，从而利用平行线分线段成比例定理得到，连接，如图所示，由相似三角形的判定得到、，利用相似比即可得到答案．

【详解】解：连接，如图所示：

在梯形中，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查相似比求线段长，涉及平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解决问题的关键．

16．

【分析】如图所示，连接并延长交于O，过点O作于H，先由重心的定义得到为的中点，则，得到，再由平行线的性质推出，得到，则，由重心的性质求出，解求出，则．

【详解】解：如图所示，连接并延长交于O，过点O作于H，

∵点为的重心，

∴为的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

由重心的性质可知，

在中，，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了重心的性质与定义，直角三角形斜边上的中线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

17．

【分析】先判定和相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，容易得到相似比为，多次运用正方形的四条边相等，勾股定理，可分别求出、，即可求解．

【详解】解：在和中，

，，

面积面积

四边形为正方形

，即

则

在中，根据勾股定理：

四边形、为正方形

，

根据勾股定理：

．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定、勾股定理．

18．或

【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可．

【详解】解：当如下图所示时，

，，

点到直线的距离为，

，

将绕点顺时针旋转得到，

；

当如下图所示时，

，，

点到直线的距离为，

，，

将绕点顺时针旋转得到，，，

，

在中，，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关键．

19．.

【分析】把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．

【详解】原式＝2＋()2

＝＋3

＝.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记各特殊角度的三角函数值．

20．(1)，点的坐标是

(2)6

【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C的坐标；

（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．

【详解】（1）解：把和代入

，解得

∴抛物线的表达式为

∴当时，

∴点的坐标是

（2）

设平移后的抛物线表达式为

把代入得

解得

∵，

∴

【点睛】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

21．4

【分析】在中，得出，由得出，根据相似三角形的性质得出，得出，由平分，得出，继而得出，即可求解．

【详解】解：∵

在中，

∵，

∴，

∵，

∴

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴

∴，

∴

【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键．

22．(1)cm

(2)cm

【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案；

（2）过点作，垂足为，在中，根据三角函数解直角三角形求出的值，根据求出的长度，然后根据勾股定理可得的长度．

【详解】（1）解：在中，，

答：此时的长约为5cm；

（2）过点作，垂足为，

在中，，

，

∴，

在中，，

答：此时液压伸缩连接杆的长约为cm．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键．

23．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）先证明，再证明，即可求证；

（2）先证明，再证明，即可求证．

【详解】（1）证明：∵，

∴

∴，即，

∵，

∴，

∴．

（2）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴

∵，

∴

∴

即．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．

24．(1)①顶点；点；②点；

(2)．

【分析】（1）①把代入求出解析式，化为一般式，即可求出顶点坐标；把B（3，m）代入求出m的值即可得点B坐标；②先求出的解析式，根据，列出等式即可求点D的坐标．

（2）过点P分别作轴，轴，垂足为Q、N，构建直角三角形，从而得到，，即可建立等式求出k的值．

【详解】（1）解：如图1，① 把代入，

∴，解得，

∴抛物线的表达式为

∴顶点

把代入，得，

∴点，

②∵，

可得直线的解析式为，

设，则，

∵，

∴，

解得

∴点．

（2）解：如图2，过点P分别作轴，轴，垂足为Q、N，

由题意可得，点，

∵，

∴，

由题意可得，

∵，

∴，即，

∴，解得，

∵，

∴

【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数、角的和差等综合内容，准确理解题干信息并正确作图是解题的关键．

25．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）过点A作，过点作，垂足分别为，利用求出、、的长，即可得出结论；

（2）证明和，得出，代入数值即可得出结论；

（3）分三种情况讨论，，，，进而得出结论．

【详解】（1）过点A作，过点作，垂足分别为，

∵，

∴在中，，

∵，

∴，

∵点是的中点，

∴，

在中，，，

∴，

在中，；

（2）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

∵，

∴，

∴；

（3）∵是等腰三角形，

①，

∵，

∴，

∴，∴舍去；

②，

∵，

∴，

∵，∴舍去；

③，

∴，

过点作，垂足为，

可得，

，

由得，

即，

∴，

由（2）可得，，，

，

可得，

综合①②③，．

【点睛】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．