2023年广东省惠来市惠城初级中学九年级数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年广东省惠来市惠城初级中学九年级数学一模试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省惠来市惠城初级中学九年级数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列各组数中互为相反数的是（   ）
A．－4 和 B．和 4 C．－4 和－ D．4 和－4
2．中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（　　）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
3．下列图形中，是中心对称图形（   ）

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ）

A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC
5．两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的(    )
A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对
6．将函数的图象向右平移3个单位后再向上平移1个单位，得到的图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．选举中，人们通常最关心的是众数
B．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据更稳定
C．数据3，2，5，2，6的中位数是5
D．某游艺活动抽奖的中奖率为，则参加6次抽奖，一定有1次能获奖
8．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，sinA=，BC=1，则⊙O的半径等于（   ）

A．4 B．3 C．2 D．
9．某市为治理污水，需要铺设一段全长为2000米的污水排放管道，为了尽量减少施工对市民生活的影响，实际施工时每天比原计划多铺设50米，结果比原计划提前两天完成任务．如果设实际每天铺设管道x米，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1A2A3，…和点B1B2B3，…分别在直线y=x+1和x轴上．则点C2020的纵坐标是（   ）

A．22020
B．22019
C．22020
D．22019

二、填空题
11．因式分解：=______．
12．在一个不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的2个红球和1个白球，任意从口袋中摸出一个球放回，再摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为_____．
13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为线段BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，CF交DE于点P．若AC＝4，CD=2，则线段CP的长___．
14．已知x1，x2是关于x的方程x2＋x-k=0的两个实数根，则x1x2的最大值为____________．
15．如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，OA＝OB，点E为AB的中点，连接OE并延长交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，点D关于直线AB的对称点恰好在反比例函数图象上，则OE﹣EC＝_____．


三、解答题
16．计算：
17．先化简，再求值：，其中．
18．某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分．李老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．小知识难度系数的计算公式为：L＝，其中L为难度系数，X为样本平均数，W为试题满分值．《考试说明》指出：L在0.7以上的题为容易题；在0.4﹣0.7之间的题为中档题；L在0.2﹣0.4之间的题为较难题．解答下列问题：
（1）m＝　 　，n＝　 　，并补全条形统计图；
（2）在初三（1）班随机抽取一名学生的成绩，求抽中的成绩为得分众数的概率；
（3）根据右侧“小知识”，通过计算判断这道题对于该班级来说，属于哪一类难度的试题？

19．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，求建筑物AB的高度．（精确到个位）（参考数据：sin＝27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

20．如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．

(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若的半径，，求的长．
21．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；
(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.

22．问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，

（1）填空：的值为 ；    ∠AMB的度数为 ,
（2）类比探究，如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由：

参考答案：
1．D
【分析】根据相反数的概念进行判断即可．
【详解】解：4的相反数是-4，
∴互为相反数的是4与，
故选：D．
【点睛】本题考查相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题关键．
2．D
【分析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.
【详解】解：370000=3.7×105．
故选D．
【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数
3．B
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各图形一一判断即可得出答案．
【详解】解；第1个图形绕圆心旋转旋转180°后不与自身完成重合，故第1个图形不是中心对称图形；
第2个图形绕任一点旋转180°后能与自身重合，是中心对称图形；
第3个图形绕圆心旋转旋转180°后与自身完成重合，是中心对称图形；
第4个图形绕任意一点旋转180°后不能与自身重合，不是中心对称图形；
所以有两个图形是中心对称图形．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的辨别，熟练掌握中心对称图形的定义是识别中心对称图形的关键．
4．D
【详解】试题分析：由DE与BC平行，得到△ADE∽△ABC，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．
故选D．
考点：1、等腰三角形的判定与性质；2、平行线的性质

5．C
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．
【详解】解：故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．
由于方差能反映数据的稳定性，
需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．
故选C．
考点：统计量的选择

6．A
【详解】试题分析：的图象的顶点坐标为（0，2），把点（0，2）向右平移3个单位后再向上平移1个单位得到的点的坐标为（3，3），所以得到的图象的函数表达式．故选A．
考点：1．二次函数图象与几何变换；2．几何变换．
7．A
【分析】根据众数、方差、中位数以及概率的意义和实际含义逐项判断即可作答．
【详解】A．选举中，人们通常最关心的是众数，故本选项正确；
B．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据更稳定，故本选项错误；
C．数据3，2，5，2，6的中位数是3，故本选项错误；
D．某游艺活动抽奖的中奖率为，则参加6次抽奖，很可能获奖，但不是一定获奖，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】此题考查了众数、方差、抽样调查、概率的意义，熟练掌握众数、方差、中位数、概率的意义，是解题的关键．
8．C
【分析】先求出∠C=90°，结合sinA=，即可求解 .
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵sinA=，BC=1，
∴=，
∴AB=4，
∴⊙O的半径等于2．
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解直角三角形．掌握直径所对的圆周角等于90°是关键.
9．D
【分析】设实际每天铺设管道x米，则原计划每天铺设管道（x﹣50）米，根据等量关系列出方程即可.
【详解】解：设实际每天铺设管道x米，则原计划每天铺设管道（x﹣50）米，
由题意得，．
故选D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，准确找到等量关系，列出方程是关键.
10．B
【分析】由题意可知A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，即可得到C1，C2，C3，C4，C5……的纵坐标为1,2,4,8, …，根据数列的特征规律，写出Cn,再求出C2020即可．
【详解】解：∵点A1，A2，A3，…在直线y=x+1∴x=0时，y=1;y=0时x=-1;
由此根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质可知：
A1纵坐标为1，A2的纵坐标为2，A3的纵坐标为4，A4的纵坐标为8，…，
∵A1和C1，A2和C2，A3…和C3，A4和C4…的纵坐标相同，
∴C1，C2，C3，C4，C5，…Cn的纵坐标分别为1，2，4，8，16，…2n−1，
∴当n=2020时，C2020,= 2n−1=22019
∴C2020纵坐标为： 22019
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数的解析式上的点的坐标、等腰直角三角形和正方形的性质．此题难度适中，属于规律型题目，注意掌握数形结合思想的应用．
11．
【分析】先提公因数4，然后根据平方差公式因式分解即可
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．
【分析】根据已知直接列出树状图即可，注意摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球；
【详解】解：树状图如图所示，

如图表示所有可能的情况，共有9种等可能的结果，而二次都摸到红球的结果有4次，
可知其概率为，
故答案为
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，根据已知注意摸出一个球再放回袋中，搅匀后再摸出一个球不要漏解．
13．1
【分析】根据ADEF是正方形推出AD＝AF，∠DAF＝90°，证△ABD≌△ACF，推出CF＝BD，求出AD，证△FEP∽△DCP，得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：如图，过A作AM⊥BD于M，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
由勾股定理得：BC＝8，
∵CD＝2，∴BD＝8－2＝6，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠B＝∠BAM＝45°，
∴BM＝AM，
∵AB＝，
∴由勾股定理得：BM＝AM＝4，
∴DM＝6－4＝2，
在Rt△AMD中，由勾股定理得：
AD＝，
∵四边形ADEF是正方形，
∴EF＝DE＝AF＝AD＝，∠E＝90°，
∵ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF＝90°－∠DAC．
设CP＝x，
∵ 在△ABD和△ACF中，

∴ △ABD≌△ACF（SAS），
∴CF＝BD＝6，∠B＝∠ACB＝∠ACF＝45°，
∴∠PCD＝90°＝∠E，
∵∠FPE＝∠DPC，
∴△FPE∽△DPC，
∴ ，
∴  ，
∴  x2＋3x－4＝0，
解得x＝－4（舍去），x＝1，
即CP＝1，
故答案为：1
【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，关键是能得出关于x的方程，题目比较好，但是有一定的难度．
14．
【分析】由根的判别式及根与系数的关系可用k表示出x1x2，可求得x1x2的最大值．
【详解】由题意可知有两个实数根，
所以，
解得，
因为，是x2＋x-k=0的两个实数根，
所以，
所以的最大值为，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，关键是掌握根与系数的关系．
15．
【分析】由题意可得直线OC的解析式为y＝x，设C（a，a），由点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求得C（1，1），求得D的坐标，根据互相垂直的两条直线斜率之积为﹣1，可设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，则B（b，0），BD＝b﹣1．由点D和点F关于直线AB对称，得出BF＝DB＝b﹣1，那么B（b，b﹣1），再将F点坐标代入y＝，得到b（b﹣1）＝1，解方程即可求得B的坐标，然后通过三角形相似求得OE，根据OE﹣EC＝OE﹣（OC﹣OE）＝2OE﹣OC即可求得结果．
【详解】解：∵点A，点B分别在y轴，x轴上，OA＝OB，点E为AB的中点，
∴直线OC的解析式为y＝x，
设C（a，a），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴a2＝1，
∴a＝1，
∴C（1，1），
∴D（1，0），
∴设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，则B（b，0），BD＝b﹣1．
∵点B和点F关于直线AB对称，
∴BF＝BD＝b﹣1，
∴F（b，b﹣1），
∵F在反比例函数y＝的图象上，
∴b（b﹣1）＝1，
解得b1＝，b2＝（舍去），
∴B（，0），
∵C（1，1），
∴OD＝CD＝1，
∴OC＝，
易证△ODC∽△OEB，
∴，即，
∴OE＝，
∴OE﹣EC＝OE﹣（OC﹣OE）＝2OE﹣OC＝﹣＝．
故答案为．

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式，轴对称的性质，函数图象上点的坐标特征，互相垂直的两条直线斜率之积为﹣1，设直线l的解析式为y＝﹣x+b，用含b的代数式表示B点坐标是解题的关键．
16．-3
【分析】先根据零次幂、绝对值、负整数次幂、特殊角的三角形函数值进行化简，然后计算即可．
【详解】解：
=1+ -1+(-3)-3×
=(-3)+ -
=-3．
【点睛】本题主要考查了零次幂、绝对值、负整数次幂、特殊角的三角形函数值等知识点，灵活应用相关概念成为解答本题的关键．
17．；．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值.
【详解】


，
当时，原式
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是争本题的关键.
18．（1）25，20，补全的图形见解析；（2）；（3）中档题
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以得到m和n的值，从而可以得到得1分的人数将条形统计图补充完整；
（2）根据（1）中学生人数，进而利用众数的定义、概率求法得出答案；
（3）根据题意可以算出L的值，从而可以判断试题的难度系数．
【详解】（1）由条形统计图可知0分的同学有6人，由扇形统计图可知，0分的同学占10%，
∴抽取的总人数是：6÷10%＝60（人），
故得1分的学生数是；60﹣27﹣12﹣6＝15（人），
∴m%＝×100%，
解得：m＝25，
n%＝×100%＝20%，
故答案为：25，20；
补全的条形统计图如下：

（2）总人数为60人，众数为2分的有27人，概率为＝；
（3）平均数为：＝1.75（分），
L＝＝≈0.58，
因为0.58在0.4﹣0.7中间，所以这道题为中档题．
【点睛】本题是条形统计图与扇形统计图的综合，同时还考查了概率、平均数、众数等知识，关键是读懂统计图，并获取有用的信息．
19．约为72米
【分析】过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设DG＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
【详解】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，

∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，
∴设DG＝x，则CG＝2.4x，
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，
∴DG＝20米，CG＝48米，
∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米，
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米，
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝27°，
∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，
∴AB＝AM+BM＝51+20.8≈72（米）．
答：建筑物AB的高度约为72米．
【点睛】本题考查了利用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形以及坡度与正切函数的关系等知识点的实际应用，添加适当的辅助线是解决问题的关键．
20．(1)与相切，见解析
(2)

【分析】（1）连接，证明，由，可得结论；
（2）根据题意得到，即可得到，由得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：与相切，
理由：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
在上，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、解直角三角形以及三角形相似的判定和性质．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.
【详解】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；
（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；
（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．
试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，
∴EF2=ME2+NF2；

（3）EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，
即2（DF2+BE2）=EF2

考点：四边形综合题
22．（1）1；；（2）的值为，的度数为，理由见解析.
【分析】（1）利用定理证出，根根三角形全等的性质可得的值；再由三角形全等的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得；
（2）先利用相似三角形的判定定理推出，再根据相似三角形的性质得的值；与（1）的解法类似，先由相似三角形的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可得.
【详解】解：（1）
，即




在中，
在中，



故答案为：1；；
（2），理由如下：
在中，

同理可得：

又
，即
（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）

在中，
在中，


故的值为，的度数为.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质、三角形的内角和定理，根据已知条件推出两个三角形全等或相似是解题关键.