高考数学二轮复习专题24 三角形中基本量的计算问题(2份打包，教师版+原卷版)

专题24　三角形中基本量的计算问题

【高考真题】

1．(2022·全国乙理)记的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若，求的周长．

2．(2022·全国乙文) 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．

(1)若，求C；

(2)证明：

3．(2022·北京) 在中，．

(1)求；

(2)若，且的面积为，求的周长．

【知识总结】

1．正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2．三角形面积公式

S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r，R为别是△ABC内切圆半径和外接圆半径)，并可由此计算R、r．

3．解三角形有关的二级结论

(1)三角形内角和定理

在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－．

(2)三角形中的三角函数关系

①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠)；④sin＝cos；⑤cos＝sin．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠)．

(3)三角形中的不等关系

①在三角形中大边对大角，大角对大边．

②A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．

③若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B<，sinA<cosB，cosA>sinB．

④c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．

⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．

⑥若x∈，则sin x＜x＜tan x．若x∈，则1＜sin x＋cos x≤．

(4)三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．

注意：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

①若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；

②若式子中含有a，b，c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”，然后进行三角恒等变换；

③若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”，然后进行代数式变形；

④含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

⑤同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．

【方法总结】

三角形中基本量的计算问题主要考查正弦定理、余弦定理，最简单的问题是只用正弦定理或余弦定理即可解决．中等难度的问题要结合三角恒等变换再用正弦定理或余弦定理即可解决．难度较大的问题要结合三角恒等变换并同时用正弦定理、余弦定理和面积公式才能解决．

【题型突破】

题型一　计算三角形中的角或角的三角函数值

1．(2020·天津)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝2，b＝5，c＝．

(1)求角C的大小；

(2)求sinA的值；

(3)求sin的值．

2．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC．

(1)求A；

(2)若a＋b＝2c，求sinC．

3．(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos．

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝．

(1)证明：sinAsinB＝sinC；

(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tanB．

5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．

(1)若λ＝，B＝，求sinA；

(2)若λ＝4，AB边上的高为，求C．

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．

(1)求cosA的值；

(2)求sin(2B－A)的值．

7．如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝45°，∠BAD＝105°，AD＝，BC＝2，AC＝3．

(1)求边AB的长及cos∠ABC的值；

(2)若记∠ABC＝α，求sin的值．

8．(2020·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝3，c＝，B＝45°．

(1)求sinC的值；

(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值．

9．(2021·新高考Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin

∠ABC＝asin C．

(1)证明：BD＝b．

(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC．

10．从①cos B＋cos ＝0；②sin2A－sin2B＋sin2C＋sin Asin C＝0；③b·cos C＋(2a＋c)cos B＝0，这三个

条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若________，

(1)求B；

(2)若△ABC面积的最大值为，求b．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

题型二　计算三角形中的边或周长

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1＋cosB)＝b(2－cosC)．

(1)求证：2b＝a＋c；

(2)若B＝，△ABC的面积为4，求b．

12．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且＋＝．

(1)求角A的大小；

(2)若＝＋，a＝，求b的值．

13．(2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2．

(1)求cosB；

(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b．

14．在①3c2＝16S＋3(b2－a2)，②5bcos C＋4c＝5a，这两个条件中任选一个，补充在下面横

线处，然后解答问题．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________．

(1)求tanB的值；

(2)若S＝42，a＝10，求b的值．

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

15．如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝．

(1)求sin∠BAD；

(2)求BD，AC的长．

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋asin A＝bsin B＋csin C．

(1)求A；

(2)设D是线段BC的中点，若c＝2，AD＝，求a．

17．如图，在△ABC中，AB＝9，cos B＝，点D在BC边上，AD＝7，∠ADB为锐角．

①求BD；

②若∠BAD＝∠DAC，求sin C的值及CD的长．

18．如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6．在AB边上取点E，使得BE＝1，连接

EC，ED．若∠CED＝，EC＝．

(1)求sin∠BCE的值；

(2)求CD的长．

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a＋b)cosC＋ccosB＝0．

(1)求角C；

(2)若△ABC的面积S＝8，其外接圆的半径R＝，求△ABC的周长．

20．(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．