黑龙江省齐齐哈尔市泰来县第二中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题（含详细答案）

黑龙江省齐齐哈尔市泰来县第二中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．要使式子有意义，则的取值范围是（   ）．

A．x>0 B． C． D．

2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（       ）.

A． B． C． D．

3．如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④.其中能判断是直角三角形的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．下列计算错误的是

A． B． C． D．

6．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是200米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，小红家和小颖家的直线距离为（     ）

A．600米 B．800米 C．1000米 D．1400米

7．如图所示，小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边折叠了一下，恰好使落在斜边上，且点与点重合，小宇经过测量得知两直角边，，求出的长是（     ）

A． B． C． D．

8．在平面直角坐标系中，的顶点，，，则顶点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

9．如图所示，在中，，且周长为36 m，点P从点A开始沿边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿边向点C以每秒2m的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，点B到的距离为（     ）m．

A．m B．6m C．3m D．m

10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如上图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为（     ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题

11．如图，平行四边形中，为对角线，已知点E，F在上，添加一个条件________可使四边形为平行四边形．

12．在□ABCD中，∠A=50°，则∠B=_____度，∠C=_____度，∠D=_____度．

13．如图,在底面周长为12,高为8的圆柱体上有A,B两点,则AB之间的最短距离是_____.

14．直角三角形的两条边分别为、，则这个直角三角形的的第三边长是_____

15．如图，课间，小聪拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如下页图所示，，从三角板的刻度可知，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度是__________cm．

16．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上．若，，则______．

17．如图，在等腰中，，，以为直角边作等腰，以为直角边作等腰，，则的长度为______．

三、解答题

18．计算：

(1)；

(2)．

19．先化简，再求值：，其中．

20．如图，在中，，垂足为D，，．

(1)若，求的长；

(2)在（1）的条件下，求的面积．

21．如图在8×8的正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．

(1)填空： ______， ______．

(2)若点A在网格所在的坐标平面里的坐标为，请你在y轴上找出一点D，使点D到点A和点C的距离最短，求这个最短距离？

22．如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行10海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

23．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证∶AE与DF互相平分．

24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点A在y轴上，B、C在x轴上，点D在第一象限内，，且．

(1)请直接写出点A、B、C、D的坐标；

(2)点P在y轴上，连接，且，求点P的坐标；

(3)点Q在坐标平面内，若以A、P、C、Q为顶点的四边形为平行四边形，求点Q的坐标．

参考答案：

1．D

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件解答．

【详解】解：∵要使有意义，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，熟记条件是解题的关键．

2．A

【详解】解：根据最简二次根式的意义，可知是最简二次根式，

=，

，

=x，

故选：A.

3．D

【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．

【详解】根据题意得，3a-8=17-2a，

移项合并，得5a=25，

系数化为1，得a=5．

故选D．

【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．

4．C

【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．

【详解】解：①∠A=∠B-∠C，可得：∠B=90°，是直角三角形；

②∠A：∠B：∠C=3：4：5，可得：∠C=75°，不是直角三角形；

③a2=（b+c）（b-c），可得：a2+c2=b2，是直角三角形；

④a：b：c=5：12：13，可得：a2+b2=c2，是直角三角形；

∴是直角三角形的有3个；

故选：C.

【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．

5．B

【详解】试题分析：根据合并同类项，同底幂除法，二次根式化简，负整数指数幂运算法则逐一计算作出判断：

A、C、D的计算都正确，B应为 ，错误．故选B．

6．C

【分析】先确定两人行走路线的夹角是直角，再确定各自行走路程分别为600米和800米，运用勾股定理计算即可．

【详解】因为小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，小红和小颖行走的速度都是200米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，

所以两人行走路线的夹角是直角，且各自行走路程分别为600米和800米，

根据勾股定理，得（米），

故选C．

【点睛】本题考查了方位角和勾股定理，正确理解方位角，灵活运用勾股定理是解题的关键．

7．D

【分析】先由勾股定理求出的长，再根据折叠的性质可以得到，，最后利用勾股定理列方程即可求出的长．

【详解】解：∵是直角三角形，，，

∴，

设，

∵由折叠而成，

∴，，

∴，，

在中，，

即，解得，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查了折叠问题和勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键．

8．C

【分析】根据题意画出图形，进而得出点横纵坐标得出答案即可．

【详解】解：如图所示：

的顶点，，，

，    

根据题意，点纵坐标与点纵坐标相同，

点C的纵坐标为，

在中，，点纵坐标与点纵坐标相同，

∵CD//AB（且在中也表明，如图在轴上，也就是说轴），

点是点沿着轴向右平移了（或）的长度，

，

点的横坐标是，

顶点的坐标是：，

故选：C．

【点睛】此题主要考查平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，根据题意在坐标系中作出图形是解题关键．

9．A

【分析】先求出的长，利用勾股定理逆定理得到，根据题意，求出的长，勾股定理求出的长，利用等积法进行求解即可．

【详解】解：∵，

设：，

则：，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵点P从点A开始沿边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿边向点C以每秒2m的速度移动，

则：运动秒后，，

∴，

∴，

设点B到的距离为，

∵，即：

∴，

∴；

故选A．

【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，以及等积法求线段的长．通过勾股定理逆定理得到是直角三角形，是解题的关键．

10．D

【分析】将完全平方式展开，结合勾股定理得到及的值，利用大正方形面积减去4个三角形面积即可得到小正方形面积；

【详解】解：∵，

∴，

∵直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，大正方形的面积为，

∴，，

∴，

故选D．

【点睛】本题考查勾股定理及完全平方公式，解题的关键是将完全平方公式展开得到及的值．

11．答案不唯一，如

【分析】可添加AE=CF，首先连接BD，由平行四边形的对角线互相平分与对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得．

【详解】连接BD 交AC于点O．

添加AE=CF．

理由：如图，设AC与BD交于点O．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵AE=CF，

∴OE=OF，

∴四边形BEDF是平行四边形．

故答案为：此题答案不唯一，如AE=CF或AF=CE.

【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质．解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．

12．     130     50     130

【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补求解即可．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C=∠A=50°，

∴∠B=∠D=180°﹣50°=130°．

故答案为：130，50，130．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，属于基础题．

13．10

【分析】立体图形转换成平面图形，利用两点之间线段最短，求解即可．

【详解】如图，把圆柱侧面展开后，走AB的路线最短，

∵AC=12.底面周长=6，BC=8，

∴AB=.

【点睛】本题考查最短路径问题，关键是把立体图形转换到平面图形来做，运用勾股定理可求解．

14．或

【详解】分析：利用勾股定理列式计算即可得解．注意要分两种情况讨论．

详解：分两种情况讨论：

①当第三边为直角边时，第三边===（cm），

②当第三边为斜边时，第三边===2（cm）．

故答案为或．

点睛：本题考查了二次根式的应用，勾股定理的应用，主要利用了二次根式的平方和二次根式的化简．

15．

【分析】根据题意可得，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，证明，得到，设一块墙砖的厚度为a，根据中得勾股定理，代入数值计算求出a即可．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

由题意得：，

∴，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴；

设一块墙砖的厚度为a，

∴，

∴，

在中：，

∴，

∵，

解得，

答：砌墙砖块的厚度为cm．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．

16．

【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，，由等腰直角三角形的性质就可以得出，由勾股定理就可以得出结论，再代值求解．

【详解】证明：连接，如图所示：

与都是等腰直角三角形，

，，

，，，

．，

在和中，

，

．

，．

，

，

即．

，

，

，，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解题的关键是掌握证明三角形全等的判定定理．

17．

【分析】根据题意分别求出，，，，，即得出其规律，即可解答．

【详解】解：在等腰中，

，，

，，

以为直角边作等腰，

，，

以为直角边作等腰，

，，

以为直角边作等腰，

，，

以为直角边作等腰，

，，

以为直角边作等腰，

，，

…

的长度为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的定义，勾股定理和图形类规律探索．根据题意总结出规律是解题关键．

18．(1)

(2)

【分析】根据二次根式的化简方法化简，然后合并同类二次根式即可．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题考查了二次根式的化简与加减运算，熟记运算法则是解题关键．

19．

【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入进行二次根式化简．

【详解】解：原式=

当时，原式

20．(1)

(2)

【分析】（1）先求，再求．

（2）分别求出，代入面积公式求出数值即可．

【详解】（1）解：，

，

，，

，

，

．

（2）解：由（1）得：，，

，

．

【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练运用三角比是解题关键．

21．(1)，；

(2)

【分析】（1）直接利用网格得出：的度数，再利用勾股定理得出的长；

（2）根据点A的坐标建立平面直角坐标系，作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点D，此时点D到点A和点C的距离最短，即，然后根据勾股定理求解即可．

【详解】（1）解：由图可知：，

；

（2）解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，

作A关于y轴的对称点，连接交y轴于点D，

此时，当，D，C三点共线时，最小，

∵，

∴，

∴，

∴的最小值为，

即点D到点A和点C的最短距离为．

【点睛】本题考查了 勾股定理与网格问题，轴对称等知识，掌握相关知识是解题的关键．

22．渔船不改变航线继续航行，没有触礁危险，见解析

【分析】过点作于点，由已知得出，从而可知，根据正弦的定义求出，判断即可．

【详解】解：过点作于点，

由题意知：，．

，

．

．

在中，．

在中，．

渔船不改变航线继续航行，没有触礁危险．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、构造直角三角形是解题的关键．

23．证明见解析

【详解】试题分析：要证AE与DF互相平分，根据平行四边形的判定，就必须先证四边形ADEF为平行四边形．

试题解析：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：

DE∥AC，DE＝AF，EF∥AB，EF＝AD

∴四边形ADEF为平行四边形

故AE与DF互相平分．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．

24．(1)，，，；

(2)；

(3)．

【分析】对于（1），先根据二次根式和平方的非负性求出，，再根据可求出，即可得出各点的坐标；

对于（2），先确定点P的位置，再根据相似三角形的性质得出答案；

对于（3），先画出图形，分别以为边或对角线，再根据平行四边形的性质得出答案．

【详解】（1）∵，

∴，．

∵，

∴，

∴，

∴点，点，点，点；

（2）过点C作，交于点E．

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

解得．

所以点；

；

（3）以为一边，作，，

∴，

∴点；

以为一边，作，，

∴，

∴点；

以为对角线，的中点坐标是，即，点C关于的中点的对称点即为的坐标是，即．

所以点Q的坐标是或或．

．

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内的几何图形，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等，确定平行四边形时注意多种情况讨论，不能丢解．