高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第六章 不等式、推理与证明 课时跟踪检测 （三十四）　二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题 Word版含答案

课时跟踪检测  (三十四)　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

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1．不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)

A．　　　　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：选C　平面区域如图所示．

解得A(1,1)，

易得B(0,4)，C，

|BC|＝4－＝．

所以S△ABC＝××1＝．

2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是(　　)

解析：选C　(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔

或画出图形可知选C．

3．(2016·四川德阳月考)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最大值为(　　)

A．7  B．8

C．22  D．23

解析：选D　由约束条件作出可行域如图中阴影部分，

由解得则B(4,5)，将目标函数z＝2x＋3y变形为y＝－x＋．

由图可知，当直线y＝－x＋过B时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，为2×4＋3×5＝23．

4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．

解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞．

答案：

5．(2017·昆明七校调研)已知实数x，y满足则z＝x＋3y的最小值为________．

解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x＋3y＝0，如图，平移直线y＝－，当直线经过点(4，－4)时，在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4)＝－8．

答案：－8

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1．(2015·福建高考)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于(　　)

A．－  B．－2

C．－  D．2

解析：选A　作可行域如图，由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．

由

得点A，

zmin＝2×(－1)－＝－．

2．设动点P(x，y)在区域Ω：上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为(　　)

A．π  B．2π

C．3π  D．4π

解析：选D　作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×2＝4π．

3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝(　　)

A．2  B．4

C．3  D．6

解析：选C　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，

由得C(2，－2)．

由得D(－1,1)．

所以|AB|＝|CD|＝＝3．故选C．

4．(2017·湖南东部六校联考)实数x，y满足(a＜1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选B　如图所示，平移直线2x＋y＝0，可知在点A(a，a)处z取最小值，即zmin＝3a，在点B(1,1)处z取最大值，即zmax＝3，所以12a＝3，即a＝．

5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入—总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(　　)

A．50,0  B．30,20

C．20,30  D．0,50

解析：选B　设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0．55x＋6×0．3y－1．2x－0．9y＝x＋0．9y．此时x，y满足条件

画出可行域如图，得最优解为A(30,20)．

6．若不等式组表示的区域为一个三角形，则实数a的取值范围为________．

解析：不等式组

表示的区域如图所示．

易求得A(2,5)．

画出直线l：x＋y＝a．

由题意及图可得a＜7．

答案：(－∞，7)

7．(2017·河南六市联考)已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________．

解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：y＝x，平移l可知，当直线l经过A时符合题意，由解得又A(2,3)在直线x＋y＝m上，∴m＝5．

答案：5

8．(2017·西安质检)若变量x，y满足则2x＋y的取值范围为________．

解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为．

答案：

9．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域

(包括边界与内部)．如图所示．

(1)写出表示区域D的不等式组．

(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．

解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0．原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为

(2)根据题意有

＜0，

即(14－a)(－18－a)＜0，

解得－18＜a＜14．

故a的取值范围是(－18,14)．

10．若x，y满足约束条件

(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；

(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．

解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．

平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，

过C(1,0)取最大值1．

所以z的最大值为1，

最小值为－2．

(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2．

故所求a的取值范围为(－4,2)．

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1．(2016·通化一模)设x，y满足约束条件若z＝的最小值为，则a的值为________．

解析：∵＝1＋，

而表示过点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率，

易知a>0，作出可行域如图所示，由题意知的最小值是，

即min＝＝＝⇒a＝1．

答案：1

2．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．

解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．

(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y．

考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在

y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．

解方程组得点M的坐标为(20,24)，

所以zmax＝2×20＋3×24＝112．

答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．