高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第八章 解析几何 课时跟踪检测 （五十）　圆锥曲线的综合问题 Word版含答案

课时跟踪检测  (五十)　圆锥曲线的综合问题

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1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)

A．有且只有一条　　　　　 B．有且只有两条

C．有且只有三条  D．有且只有四条

解析：选B　设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2．所以符合条件的直线有且只有两条．

2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选D　由得(1－k2)x2－4kx－10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则

解得－＜k＜－1．即k的取值范围是．

3．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·等于(　　)

A．－3  B．－

C．－或－3  D．±

解析：选B　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－．

4．已知抛物线y2＝2px的焦点F与椭圆16x2＋25y2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则点A的横坐标为(　　)

A．2  B．－2

C．3  D．－3

解析：选D　16x2＋25y2＝400可化为＋＝1，

则椭圆的左焦点为F(－3,0)，

又抛物线y2＝2px的焦点为，准线为x＝－，

所以＝－3，即p＝－6，即y2＝－12x，K(3,0)．

设A(x，y)，则由|AK|＝|AF|得

(x－3)2＋y2＝2，即x2＋18x＋9＋y2＝0，

又y2＝－12x，所以x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3．

5．已知双曲线－＝1(a>0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－，则m的值为(　　)

A．  B．

C．2  D．3

解析：选A　由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，

所以抛物线的方程为y＝2x2．

因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，

所以y1＝2x，y2＝2x，

两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，

不妨设x1＜x2，又A，B关于直线y＝x＋m对称，

所以＝－1，

故x1＋x2＝－，

而x1x2＝－，

解得x1＝－1，x2＝，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，

则x0＝＝－，

y0＝＝＝，

因为中点M在直线y＝x＋m上，

所以＝－＋m，解得m＝．

6．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是__________________．

解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则＋＝1，且＋＝1，

两式相减并化简得＝－．

又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，

所以＝－，

故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，

即x＋2y－8＝0．

答案：x＋2y－8＝0

7．如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________．

解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立解得x＝±2，则A(－2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，所以＝(1,0)，＝(－1,0)，所以·＝－1．

答案：－1

8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．

解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，则a2－b2＝4，所以可设椭圆方程为＋＝1，

联立

得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，

设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，

由一元二次方程根与系数的关系得：

y1＋y2＝＝2．

解得：b2＝8．所以a2＝12．

则椭圆方程为＋＝1．

答案：＋＝1

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB＝4．

(1)求椭圆的方程；

(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．

解：(1)由题意知e＝＝，2a＝4．

又a2＝b2＋c2，

解得a＝2，b＝，

所以椭圆方程为＋＝1．

(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．

②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，

设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则直线CD的方程为y＝－(x－1)．

将直线AB方程代入椭圆方程中并整理，

得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

则x1＋x2＝，x1·x2＝，

所以|AB|＝|x1－x2|

＝·＝．

同理，|CD|＝＝．

所以|AB|＋|CD|＝＋

＝＝，解得k＝±1，

所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．

10．(2016·北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|·|BM|为定值．

解：(1)由题意得解得

所以椭圆C的方程为＋y2＝1．

(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．

设P(x0，y0)，则x＋4y＝4．

当x0≠0时，

直线PA的方程为y＝(x－2)．

令x＝0，得yM＝－，

从而|BM|＝|1－yM|＝．

直线PB的方程为y＝x＋1．

令y＝0，得xN＝－，

从而|AN|＝|2－xN|＝．

所以|AN|·|BM|＝·

＝

＝

＝4．

当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，

所以|AN|·|BM|＝4．

综上，|AN|·|BM|为定值．

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1．(2017·海口调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．

解：(1)由题意可知

解得a＝2，b＝，

所以椭圆方程是＋＝1．

(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，

把y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1，

整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，

所以2＋x1＝⇒x1＝，则D，

所以BD中点的坐标为，

则直线BD的垂直平分线方程为y－＝－，

得P．

又·＝0，

即·＝0，

化简得＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，

解得k＝±．

故P或．

2．如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4．

(1)求椭圆C的方程．

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

解：(1)由P在椭圆上得，＋＝1，①

依题设知a＝2c，则a2＝4c2，b2＝3c2，②

将②代入①得c2＝1，a2＝4，b2＝3．

故椭圆C的方程为＋＝1．

(2)存在．理由如下：

由题意可设AB的斜率为k，

则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③

代入椭圆方程并整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则有x1＋x2＝，x1x2＝，④

在方程③中令x＝4，得M(4,3k)．

从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－．

因为A，F，B三点共线，则有k＝kAF＝kBF，

即＝＝k．

所以k1＋k2＝＋

＝＋－

＝2k－·，⑤

将④代入⑤得k1＋k2＝2k－·＝2k－1．

又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3．

故存在常数λ＝2符合题意．