2022年山东省临沂市高考数学三模试卷（含答案解析）

2022年山东省临沂市高考数学三模试卷

1. 已知复数z满足，则

A. 2 B. 3 C.  D.

2. 已知集合，，

A.  B.  C.  D.

3. 向量，，则与的夹角为

A.  B.  C.  D.

4. 在二项式的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为

A.  B.  C. 1 D. 32

5. 战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜链的体积为

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，则a，b，c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

7. 志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障，某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该站点参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有

A. 72种 B. 81种 C. 144种 D. 192种

8. 已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为

A.  B.
C.  D.

9. 2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重
   
   以下关于我国2020年上半年经济数据的说法正确的是

A. 第一产业的生产总值不超过第三产业中“房地产业”的生产总值
B. 第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平
C. 若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元
D. 若“金融业”生产总值为45600亿元，则第二产业生产总值为185000亿元

10. 下列命题正确的是

A. 正实数x，y满足，则的最小值为4
B. “，”是“”成立的充分条件
C. 若随机变量，且，，则
D. 命题p：，，则p的否定：，

11. 已知函数图象上两相邻最高点的距离为，把的图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象，则

A. 在上是增函数 B. 是的一个对称中心
C. 是奇函数 D. 在上的值域为

12. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则
     

A. 椭圆的长轴长为
B. 线段AB长度的取值范围是
C. 面积的最小值是4
D. 的周长为

13. 边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点包含边界，则的最大值是______.
14. 某足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫三个位置，且出场率分别为，，，当甲球员在相应位置时，球队输球的概率依次为，，据此判断当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为______.
15. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则其欧拉线方程为______.
16. 如图，AB是圆锥底面圆O的直径，圆锥的母线，，则此圆锥外接球的表面积为______；E是其母线PB的中点，若平面过点E，且平面，则平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，此时该抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为______.
17. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
    求A；
    若，，求的面积．
18. 已知数列，的前n项和分别是，，若，，
    求，的通项公式；
    定义，记，求数列的前n项和
19. 在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．
    点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；
    若，求点D到平面AEF的最大距离．
20. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，A为C的左顶点，且
    求C的方程；
    若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M，求证：点M与点N的横坐标之积为定值．
21. 在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全、保稳定的前提下有序恢复生产、生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格单位：元与购买人数单位：万人的数据如下表：

在分析数据、描点绘图中，发现散点集中在一条直线附近，其中，
根据所给数据，求y关于x的回归方程；
按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
附：①可能用到的数据：，，，
②对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，

22. 已知函数，其图象在处的切线过点
    求a的值；
    讨论的单调性；
    若，关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：，
，

故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

2.【答案】D

【解析】解：根据题意，，
则，
则；
故选：
根据题意，求出，由交集的定义计算可得答案．
本题考查集合交并补的混合运算，属于基础题．
 

3.【答案】C

【解析】解：，
，且，

故选：
可根据向量的坐标求出和的值，从而可求出的值，然后即可求出的值．
本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】B

【解析】解：二项式系数的和是32，，，
，
令，则，
展开式中各项系数的和为，
故选：
利用二项式系数的性质求出n，再利用赋值法求解即可．
本题主要考查二项式系数的性质，赋值法的应用，属于基础题．
 

5.【答案】A

【解析】解：由已知可得，正三棱锥的底面正三角形边长为2，设正三角形内切圆半径为r，
则，
解得，其内切圆半径为，
由三棱锥体积与圆柱体积公式得此铜镞的体积约为：

故选：
求出正三棱锥的底面正三角形内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式求解．
本题考查几何体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

6.【答案】C

【解析】解：，
，
，
所以
故选：
由对数运算性质知，由指数的运算法则知，再由二倍角的正切公式对c进行化简，然后比较大小，即可．
本题考查化简求值与大小比较，熟练掌握指对数的运算与性质，二倍角的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】D

【解析】解：由题意得，
不同的安排方案共有，
故选：
利用捆绑法先求不考虑甲是否在第一天，再将甲在第一天的去掉即可．
本题考查了捆绑法的应用，属于基础题．
 

8.【答案】A

【解析】解：，，
函数是周期为4的函数，且函数图像关于对称，
令，，
当时，，
当时，，
函数在上为增函数，
当时，，即，
设，，，
即函数在上单调递减，则，即，
故在上恒成立，
由对称性及周期性作函数的示意图及函数的图象如下，

由图象可知，不等式在上的解集为
故选：
根据题意得到函数是周期为4的函数，且图像关于对称，令，得到在上为增函数，求得，即，在同一坐标系中作出两函数的草图，由图象观察即可得解．
本题考查函数的性质及不等式的求解，考查导数的应用，考查运算求解能力，旨在培养学生的数学抽象思维及数形结合思想，属于中档题．
 

9.【答案】AD

【解析】解：对于A，第一产业的生产总值占，第三产业中“房地产业”的生产总值占，故A正确；
对于B，第一产业的生产总值占，第三产业中租赁和商务服务业”的生产总值占，故B错误；
对于C，若住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为亿元，故C错误；
对于D，若“金融业”生产总值为4500亿元，则第二产业生产总值为亿元，故D正确．
故选：
直接由图中数据依次计算判断4个选项即可．
本题考查扇形图，频率分布直方图的综合应用，属于基础题．
 

10.【答案】BC

【解析】解：对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A错误；对于B，“，”能推出“”，故B正确；
对于C，，，解得，故C正确；
对于D，p的否定：，，故D错误．
故选：
对于A，可用基本不等式“1”的妙用求最值；
对于B，根据充要条件的知识及不等式性质进行判断；
对于C，根据二项分布期望及方差公式求解判断；
对于D，根据命题的否定的知识进行判断．
本题考查了基本不等式的应用、充分条件的判断、二项分布期望与方差公式及对全称命题的否定，属于基础题．
 

11.【答案】ACD

【解析】解：函数图象上两相邻最高点的距离为，故函数的最小正周期为；
所以；
故，
把的图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象，
对于A：由于，所以，故函数在该区间上单调递增，故A正确；
对于B：当时，，故B错误；
对于C：函数，故函数为奇函数，故C正确；
对于D：由于，所以，故，所以，故D正确．
故选：
直接利用正弦型函数的性质的应用和关系式的变换的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】ABD

【解析】解：由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；
，由椭圆性质可知，所以，B正确；
记，则，
取，则错误；
由椭圆定义知，，
所以的周长，D正确．
故选：
由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合O长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断
本题考查了椭圆的定义和性质，属于中档题．
 

13.【答案】

【解析】解：由点M满足，
则点M为BF的中点，
设与的夹角为，
，
过点P作，
由的几何意义为在方向上的投影可得：，
又，，
则的最大值是，
故答案为：
由平面向量数量积运算，结合向量投影的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量投影的运算，属基础题．
 

14.【答案】

【解析】解：记甲球员出场前锋、中锋、后卫分别为事件，，；记甲球员出场前锋、中锋、后卫时输球分别为事件，，，则当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率：

故答案为：
分3种情况，根据相互独立事件概率乘法公式可得．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

15.【答案】

【解析】解：设的重心为G，垂心为H，
由重心坐标公式得，所以，
由题，的边AC上的高线所在直线方程为，
直线BC：，，
所以的边BC上的高线所在直线方程为，
所以，
所以欧拉线GH的方程为，即
故答案为：
分别算出重心坐标和垂心坐标即可求得欧拉线方程．
本题考查了直线的方程的求解，属于中档题．
 

16.【答案】

【解析】解：因为圆锥的母线，，所以，所以，
则此圆锥外接球的半径就是三角形PAB的外接圆的半径，即此圆锥外接球的半径为2，其表面积为，
如图示：

连结OE，因为平面，所以所以，
在中，O为AB的中点，所以OE为中位线，所以，
设平面交底面圆于CD，则，
以E为原点，EO为x轴建立坐标系如图示，则，，
可设抛物线，把代入抛物线方程可得：，
所以抛物线为：，焦点所以，即抛物线的焦点F到底面圆心O的距离为
故答案为：；
以E为原点，EO为x轴建立坐标系，利用坐标法求出抛物线方程，即可求出抛物线的焦点F到底面圆心O的距离．
本题考查了球和抛物线的综合应用，考查了转化思想、运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，
所以，
即，
由A为三角形内角得；
由余弦定理得，
所以，
解得舍负，
所以的面积

【解析】由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简可求A；
结合余弦定理先求出c，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

18.【答案】解：由，可得，
所以是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，即，
又，所以，
所以，，
满足上式，所以；
由
当时，，；
当时，，，
所以，
所以，
当时，，
当时，，
综上，

【解析】由结合等比定义得出，由前n项和与通项的关系得出；
讨论，的大小，得出通项公式，进而得出，最后讨论，两种情况得出
本题考查了由数列的递推关系式求数列的通项公式以及分组求和问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：设平面与平面的交线为l，
因为平面，平面平面，平面，所以，
由正方体知，平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，所以，
取BC中点G，连接，易知，所以，
又因为H为CG中点，所以F为中点；

以点D为原点，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则有，，，，其中，
，
设平面AEF的法向量为，
则有，不妨取，
则，
所以，当，即点F与点重合时，取等，
所以点D到平面AEF的最大距离为

【解析】取BC中点G，利用线面平行性质定理和面面平行性质定理推出，即可得到点F的位置；
建立空间直角坐标系，计算平面AEF的法向量，然后用公式求解点D到平面AEF的最大距离．
本题考查了线面平行的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
 

20.【答案】解：易知点，
所以，，解得，，则，
所以，双曲线C的方程为
证明：分以下两种情况讨论：
①当直线轴时，直线l的方程为，此时点M、N的横坐标之积为；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
由题意可知直线l不与双曲线C的渐近线平行或重合，即，
设点、，
联立可得，
则，可得，则，
不妨点M、N分别为直线l与直线的交点，
此时，
综上所述，点M与点N的横坐标之积为定值．

【解析】根据已知条件可得出关于a、c的方程组，解出这两个量的值，可求得b的值，进而可得出双曲线C的方程；
分两种情况讨论：直线轴、直线l的斜率存在，在第一种情况下，直接M与点N的横坐标之积；在第二种情况下，设直线l的方程为，将直线/的方程与双曲线C的方程联立，由可得出，求出点M、N的横坐标，结合可证得结论成立．
本题考查直线与双曲线的综合，考查学生的综合能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：散点集中在一条直线附近，
则可设回归直线方程为，
，，
，，
则为，，
变量关于v的回归方程为，
，，
，
，
故y关于x的回归方程为
由，解得，
结合表中数据可得，，58，67，77，即乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”，
则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，
，，，
故X的分布列为：

故

【解析】根据已知条件，结合换元法和最小二乘法，即可求解．
结合的结论，先求出“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，X的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列求解，以及最小二乘法的应用，属于中档题．
 

22.【答案】解：函数的定义域为，，依题意，，
在处的切线方程为，
又点在切线上，故，解得；
由知，，令，令，则，
令，解得，令，解得，
函数在单调递减，在单调递增，则，
在上恒成立，
在和上单调递增；
由于，则不等式可转化，即，亦即，
又在上单调递增，则，即，
设，则，令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，则，
实数的取值范围为

【解析】对函数求导，求出切线方程，再将点代入即可求得实数a的值；
由写出函数的导函数，判断导函数与0的关系，即可得到单调性情况；
原不等式可转化为，亦即，利用的单调性，进一步可转化为，设，求出的最大值即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查同构法及运算求解能力，属于较难题目．