高中数学高考35第六章 数 列 高考专题突破3 第1课时 等差、等比数列与数列求和无答案

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题型一 等差数列、等比数列的交汇
例1 记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
跟踪训练1 (2019·鞍山模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比．
题型二 新数列问题
例2 对于数列{xn}，若对任意n∈N＋，都 有xn＋2－xn＋1>xn＋1－xn成立，则称数列{xn}为“增差数列”．设an＝eq \f(t3n＋n2－1,3n)，若数列a4，a5，a6，…，an(n≥4，n∈N＋)是“增差数列”，则实数t的取值范围是________．
跟踪训练2 (1)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{an}是等积数列且a1＝2，前21项的和为62，则这个数列的公积为________．
(2)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”若{an}是“斐波那契数列”，则(a1a3－aeq \\al(2,2))·(a2a4－aeq \\al(2,3))(a3a5－aeq \\al(2,4))…·(a2 017·a2 019－aeq \\al(2,2 018))的值为________．
题型三 数列的求和
命题点1 分组求和与并项求和
例3 (2018·呼和浩特模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)))，a3＋a4＝32eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a3)＋\f(1,a4))).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝aeq \\al(2,n)＋lg2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
命题点2 错位相减法求和
例4 (2018·大连模拟)已知数列{an}满足an≠0，a1＝eq \f(1,3)，an－an＋1＝2anan＋1，n∈N+.
(1)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝eq \f(2n,an)，求数列{bn}的前n项和Tn.
命题点3 裂项相消法求和
例5 在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,n)))是等差数列；
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的前n项和Sn.
跟踪训练3 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝aeq \\al(2,n)＋3an＋2(t∈R)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2bn＋7n)))的前n项和Tn.
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝eq \f(Sn,n)(n∈N＋)，求证：数列{bn}为等差数列．
2．(2018·包头模拟)在数列{an}和{bn}中，a1＝1，an＋1＝an＋2，b1＝3，b2＝7，等比数列{cn}满足cn＝bn－an.
(1)求数列{an}和{cn}的通项公式；
(2)若b6＝am，求m的值．
3．已知递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝anan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>62成立的正整数n的最小值．
4．正项等差数列{an}满足a1＝4，且a2，a4＋2，2a7－8成等比数列，{an}的前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝eq \f(1,Sn＋2)，求数列{bn}的前n项和Tn.

5．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn(n＝1，2，3，…)．
(1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,2n－1)))是等比数列；
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.

6．设数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，an＝eq \f(2an－1＋1,an－1＋2)(n≥2，n∈N＋)．
(1)证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an－1,an＋1)))为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝(3n＋1)an，证明：数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列．