高中数学高考34第六章 数 列 6 3 等比数列及其前n项和

§6.3　等比数列及其前n项和

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列                                        ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的     ，通常用字母    表示(q≠0)．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝         .

3．等比中项

如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·     (n，m∈N＋)．

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则             .

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

5．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝＝.

6．等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为    .

概念方法微思考

1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？

2．任意两个实数都有等比中项吗？

3．“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　 　)

(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　 　)

(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　 　)

(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　 　)

(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　 　)

题组二　教材改编

2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝      .

3．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)

A．8  B．9  C．10  D．11

题组三　易错自纠

4．若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为        ．

5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝        .

6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机        秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB＝210 MB)

题型一　等比数列基本量的运算

1．(2019·沈阳模拟)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)

A.  B.  C．1  D．2

2．(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.

例1  已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.

(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

跟踪训练1 (2018·黄山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

题型三　等比数列性质的应用

例2 (1)(2018·包头质检)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1 (n∈N+)的最小值为(　　)

A.  B．1  C．2  D．3

(2)(2018·大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于(　　)

A．－9  B．－21  C．－25  D．－63

跟踪训练2 (1)等比数列{an}各项均为正数，a3a8＋a4a7＝18，则a1＋a2＋…＋a10＝         .

(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝        (n≥2，且n∈N)．

等差数列与等比数列

关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．

例1　已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，则的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

例2　已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为(　　)

A．3n＋1   B．3n－1

C.   D.

1．已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为(　　)

A．±   B.

C．±2   D．2

2．已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于(　　)

A．93  B．189  C.  D．378

3．(2018·满洲里质检)等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为(　　)

A.   

B．－

C.   

D．－

4．已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则等于(　　)

A．－5  B．－3  C．5  D．3

5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　)

A．10  B．9  C．8  D．7

6．若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N＋)，则a6－a5的值是(　　)

A.   

B．－16

C．2   

D．16

7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2 018，a2＋a4＝－2a3，则S2 019＝        .

8.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为        ．

9．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝，且a2a8＝2a5＋3，则a9＝        .

10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a，且S4＋S12＝λS8，则λ＝        .

11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{an}的通项公式．

12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N＋.

(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

13．(2019·鄂尔多斯模拟)正项等比数列{an}中的a1，a4 037是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，则等于(　　)

A．1       B．2       C．－1       D.

14．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1－2，bn＝log2(a·)，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn>1 024的最小n的值为        ．

15．已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为(　　)

A．4   B．5

C．6   D．7

16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N+，求数列{an}的通项公式．