高中数学高考37第六章 数列与数学归纳法 高考专题突破3 第1课时 等差、等比数列与数列求和

高考专题突破三　高考中的数列问题

第1课时　等差、等比数列与数列求和

题型一　等差数列、等比数列的交汇

例1　记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列.

跟踪训练1　(2019·鞍山模拟)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比.

题型二　新数列问题

例2　对于数列{xn}，若对任意n∈N＋，都 有xn＋2－xn＋1>xn＋1－xn成立，则称数列{xn}为“增差数列”.设an＝，若数列a4，a5，a6，…，an(n≥4，n∈N＋)是“增差数列”，则实数t的取值范围是________.

跟踪训练2　(1)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列{an}是等积数列且a1＝2，前21项的和为62，则这个数列的公积为________.

(2)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”若{an}是“斐波那契数列”，则(a1a3－a)(a2a4－a)(a3a5－a)…·(a2 017·a2 019－a)的值为________.

题型三　数列的求和

命题点1　分组求和与并项求和

例3　(2018·呼和浩特模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝a＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

命题点2　错位相减法求和

例4　(2018·大连模拟)已知数列{an}满足an≠0，a1＝，an－an＋1＝2anan＋1，n∈N＋.

(1)求证：是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

命题点3　裂项相消法求和

例5　在数列{an}中，a1＝4，nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列的前n项和Sn.

跟踪训练3　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an(n∈N＋).

①证明：数列是等比数列；

②求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.

(2)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R).

①求数列{an}的通项公式；

②若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26.

(1)求an及Sn；

(2)令bn＝(n∈N＋)，求证：数列{bn}为等差数列.

2.(2018·包头模拟)在数列{an}和{bn}中，a1＝1，an＋1＝an＋2，b1＝3，b2＝7，等比数列{cn}满足cn＝bn－an.

(1)求数列{an}和{cn}的通项公式；

(2)若b6＝am，求m的值.

3.已知递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>62成立的正整数n的最小值.

4.正项等差数列{an}满足a1＝4，且a2，a4＋2,2a7－8成等比数列，{an}的前n项和为Sn.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

5.数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn(n＝1,2,3，…).

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.

6.设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q≠1，d≠0.记ci＝ai＋bi (i＝1,2,3,4).

(1)求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；

(2)设a1＝1，q＝2.若数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；

(3)数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由.