高考数学(文数)二轮专题突破训练11《等差数列与等比数列》 (教师版)

专题能力训练11　等差数列与等比数列

一、能力突破训练

1.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2= (　　)

A.2 B.1 C.-1 D.-2

2.在等差数列{an}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于(　　)

A.290 B.300 C.580 D.600

3.设{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为(　　)

A.2 B.200 C.-2 D.0

4.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则(　　)

A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0

C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

5.在等比数列{an}中,满足a1+a2+a3+a4+a5=3,=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是(　　)

A.3 B. C.- D.5

6.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=　　　　　. 

7.已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列的通项公式an=　　　　　. 

8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且成等差数列,则=　　　　　. 

9.(2018全国Ⅲ,文17)在等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.

10.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.

11.设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求数列的前n项和.

二、思维提升训练

12.已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an==2,n∈N*,则数列{}的前10项的和为(　　)

A. (49-1) B. (410-1)

C. (49-1) D. (410-1)

13.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=+…+等于(　　)

A.1- B.

C.1- D.

14.如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　)

A.{Sn}是等差数列 B.{}是等差数列

C.{dn}是等差数列 D.{}是等差数列

15.已知等比数列{an}的首项为,公比为-,其前n项和为Sn,若A≤Sn-≤B对n∈N*恒成立,则B-A的最小值为　　　　　. 

16.已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.

(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;

(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=2,求+…+.

17.若数列{an}是公差为正数的等差数列,且对任意n∈N*有an·Sn=2n3-n2.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)是否存在数列{bn},使得数列{anbn}的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(n∈N*)?若存在,求出数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn;若不存在,请说明理由.

专题能力训练11　等差数列与等比数列

一、能力突破训练

1.C　解析 ∵a3a5=4(a4-1),∴=4(a4-1),解得a4=2.

又a4=a1q3,且a1=,∴q=2,∴a2=a1q=.

2.B　解析 由a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,得a1+a20=30,故S20==300.

3.A　解析 设公比为q,∵an+2an+1+an+2=0,∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0,∴q2+2q+1=0,∴q=-1.又a1=2,∴S101==2.

4.B　解析 设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.

∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.

∵d≠0,∴a1d=-d2<0,且a1=-d.

∵dS4==2d(2a1+3d)=-d2<0,故选B.

5.D　解析 由条件知=5,

故a1-a2+a3-a4+a5==5.

6.6　解析 ∵an+1=2an,即=2,

∴{an}是以2为公比的等比数列.

又a1=2,

∴Sn==126.∴2n=64,∴n=6.

7.2n　解析 ∵=a10,∴(a1q4)2=a1q9,∴a1=q,

∴an=qn.

∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an(1+q2)=5anq,

∴2(1+q2)=5q,解得q=2或q=(舍去),

∴an=2n.

8.　解析 由题意知

解得xz=y2=y2,x+z=y,

从而-2=-2=.

9.解 (1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.

由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.

故an=(-2)n-1或an=2n-1.

(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.

若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.

综上,m=6.

10.解 (1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10.

解得d=2.所以an=2n-1.

(2)设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9.

解得q2=3.所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1.

从而b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=.

11.解 (1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).

两式相减得(2n-1)an=2.

所以an=(n≥2).

又由题设可得a1=2,

从而{an}的通项公式为an=.

(2)记的前n项和为Sn.

由(1)知,则Sn=+…+.

二、思维提升训练

12.D　解析 由a1=1,an+1-an=2,得an=2n-1.

由=2,b1=1得bn=2n-1.

则=22(n-1)=4n-1,

故数列{}前10项和为(410-1).

13.B　解析 因为an=1×2n-1=2n-1,所以anan+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以.

所以是等比数列.

故Tn=+…+.

14.A　解析 如图,延长AnA1,BnB1交于P,过An作对边BnBn+1的垂线,其长度记为h1,过An+1作对边Bn+1Bn+2的垂线,其长度记为h2,

则Sn=|BnBn+1|×h1,Sn+1=|Bn+1Bn+2|×h2.

∴Sn+1-Sn=|Bn+1Bn+2|h2-|BnBn+1|h1.

∵|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,

∴Sn+1-Sn=|BnBn+1|(h2-h1).

设此锐角为θ,

则h2=|PAn+1|sin θ,h1=|PAn|sin θ,

∴h2-h1=sin θ(|PAn+1|-|PAn|)=|AnAn+1|sin θ.

∴Sn+1-Sn=|BnBn+1||AnAn+1|sin θ.

∵|BnBn+1|,|AnAn+1|,sin θ均为定值,∴Sn+1-Sn为定值.

∴{Sn}是等差数列.故选A.

15.　解析 易得Sn=1-,

因为y=Sn-在区间上单调递增(y≠0),所以y∈⊆[A,B],因此B-A的最小值为.

16.解 (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,

两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.

又由S2=qS1+1得到a2=qa1,

故an+1=qan对所有n≥1都成立.

所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.

从而an=qn-1.

由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.

所以a3=2a2,故q=2.

所以an=2n-1(n∈N*).

(2)由(1)可知,an=qn-1.

所以双曲线x2-=1的离心率en=.

由e2==2,解得q=.

所以+…+

=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]

=n+[1+q2+…+q2(n-1)]

=n+=n+(3n-1).

17.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0,

an=dn+(a1-d),Sn=dn2+n.

对任意n∈N*,恒有

an·Sn=2n3-n2,则[dn+(a1-d)]·=2n3-n2,

即[dn+(a1-d)]·=2n2-n.

∴

∵d>0,∴∴an=2n-1.

(2)∵数列{anbn}的前n项和为An=5+(2n-3)·2n-1(n∈N*),

∴当n=1时,a1b1=A1=4,∴b1=4,

当n≥2时,anbn=An-An-1=5+(2n-3)2n-1-[5+(2n-5)2n-2]=(2n-1)2n-2.

∴bn=2n-2.假设存在数列{bn}满足题设,且数列{bn}的通项公式bn=

∴T1=4,当n≥2时,Tn=4+=2n-1+3,当n=1时也适合,

∴数列{bn}的前n项和为Tn=2n-1+3.