高中数学高考13第三章 导数及其应用 3 1 导数的概念及运算课件PPT

这是一份高中数学高考13第三章 导数及其应用 3 1 导数的概念及运算课件PPT，共53页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，基础知识自主学习，题型分类深度剖析，题型一导数的计算等内容，欢迎下载使用。

NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.导数与导函数的概念
ZHISHISHULI
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数.记作f′(x)或y′.2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝ .
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝ ；(2)[f(x)·g(x)]′＝ ；(3) ＝(g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
1.根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？
提示　|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭.
2.直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　)(3)(2x)′＝x·2x－1.(　　)(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(　　)
2.[P18A组T5]若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝ .
解析　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
3.[P18A组T6]曲线y＝1－ 在点(－1，－1)处的切线方程为 .
∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.
4.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是
解析　由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
5.设f(x)＝ln(3－2x)＋cs 2x，则f′(0)＝ .
6.(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .
又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1).令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
3.f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0＝ .
由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1.
4.若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝ .
解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错.2.(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.
命题点1　求切线方程例1　(1)(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝ ，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为A.1 B.－1 C.2 D.－2
题型二　导数的几何意义
由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝1.
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 .
解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点2　求参数的值例2　(1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝ .
解析　由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝ .
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
命题点3　导数与函数图象
例3　(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是
解析　由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0).(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由 求解即可.(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况.
跟踪训练　(1)(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是 .
y＝0或4x＋y＋4＝0
∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，
∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.
(2)设曲线y＝ 处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝ .
(3)(2018·开封模拟)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 .
解析　函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解.
2.(2018·衡水调研)设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为
解析　由f(x)＝xln x，得f′(x)＝ln x＋1.根据题意知，ln x0＋1＝2，所以ln x0＝1，即x0＝e.
3.曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是A.x－3y＋3＝0 B.x－2y＋2＝0C.2x－y＋1＝0 D.3x－y＋1＝0
解析　y′＝cs x＋ex，故切线斜率k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.
4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是
解析　原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.
∴y′∈[－1,0)，得tan α∈[－1,0)，
6.(2018·广州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为
因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，
7.(2018·鹰潭模拟)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为 .
解析　∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，∴点M的坐标是(－2,9).
8.设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝ .
∴当x＝0时，y′＝a－1，∵曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.
9.若曲线y＝ln x的一条切线是直线y＝ x＋b，则实数b的值为 .
解得x0＝2，则切点坐标为(2，ln 2)，所以ln 2＝1＋b，b＝－1＋ln 2.
10.(2018·泰安模拟)若曲线f(x)＝acs x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝ .
解析　依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，得b＝0.又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.
11.已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示.(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝ ；
解析　由题图可得f′(x)＝x，g′(x)＝x2，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝x，g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2，
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为 .(用“<”连接)
h(0)12.已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；
解　由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4).
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.
解　∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
即x＋4y＋17＝0.
13.若函数f(x)＝ x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴y＝f′(x)存在零点，
14.已知曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，求实数a的值.
解　因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝xln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，则曲线f(x)＝xln x在点(e，f(e))处的切线方程为y＝2x－e.由于切线与曲线y＝x2＋a相切，故y＝x2＋a可联立y＝2x－e，得x2－2x＋a＋e＝0，所以由Δ＝4－4(a＋e)＝0，解得a＝1－e.
15.给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.已知函数f(x)＝5x＋4sin x－cs x的“拐点”是M(x0，f(x0))，则点MA.在直线y＝－5x上B.在直线y＝5x上C.在直线y＝－4x上D.在直线y＝4x上
解析　由题意，知f′(x)＝5＋4cs x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cs x，由f″(x0)＝0，知4sin x0－cs x0＝0，所以f(x0)＝5x0，故点M(x0，f(x0))在直线y＝5x上.
(1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程；
∵切线过(0，－3)，
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
解　设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，
令y＝x，得y＝x＝2m，从而切线与直线y＝x的交点为(2m,2m)，