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高中数学高考54第九章 平面解析几何 9 1 直线的方程课件PPT
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这是一份高中数学高考54第九章 平面解析几何 9 1 直线的方程课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，基础知识自主学习，题型分类深度剖析，题型二求直线的方程等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l__________之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴____________时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是___________.
ZHISHISHULI
2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝_____.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝______.
3.直线方程的五种形式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
y－y0＝k(x－x0)
1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？
2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
2.[P86T3]若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
3.[P100A组T9]过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________.
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
4.(2018·石家庄模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是
5.如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
6.过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 .
解析 ①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；
x－2y＋2＝0或x＝2
②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；
综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .
1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.
2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.
解 如图，直线PA的倾斜角为45°，
直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).
(1)倾斜角α与斜率k的关系
(2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.
(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tan α的单调性.
跟踪训练1 (1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于
解析 ∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，
(2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是 .
所以k＝tan α≥1.
例2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
解 方法一 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
方法二 由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
解 设所求直线的斜率为k，依题意
又直线经过点A(－1，－3)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
解 过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求.设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
(k≠－2，否则与已知直线平行).
即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
跟踪训练2 根据所给条件求直线的方程：
解 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
解 设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a＝0，即l过(0,0)及(4,1)两点，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.
解 当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
题型三 直线方程的综合应用
命题点1 与基本不等式相结合求最值问题
例3 (2018·济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当 取得最小值时直线l的方程.
解 设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
命题点2 由直线方程解决参数问题
例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0
跟踪训练3 过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
因为直线l经过点P(4,1)，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
1.直线 x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为A.30° B.60° C.150° D.120°
解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k，
∵0°≤α<180°，∴α＝60°.
2.(2018·海淀模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小 的直线方程是A.x＝2 B.y＝1 C.x＝1 D.y＝2
解析 ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，
∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.
3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝ 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为A.150° B.135° C.120° D.不存在
显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，
故直线l的倾斜角为150°.
4.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是
解析 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合.
5.直线MN的斜率为2，其中点N(1，－1)，点M在直线y＝x＋1上，则A.M(5,7) B.M(4,5) C.M(2,1) D.M(2,3)
解析 设M的坐标为(a，b)，若点M在直线y＝x＋1上，则有b＝a＋1. ①
联立①②可得a＝4，b＝5，即M的坐标为(4,5).故选B.
6.已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是
∴要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；
7.(2018·焦作期中)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析 ①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，设该直线的方程为x＋y＝a，把(3，－1)代入所设的方程得a＝2，则所求直线的方程为x＋y＝2，即x＋y－2＝0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，
综上，所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0，故选B.
二、填空题9.一条直线经过点A(2， )，并且它的倾斜角等于直线y＝ 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是 .
10.不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点 .
∴直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(－2,1).
解析 直线mx－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)＋(－y＋1)＝0，
11.已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为 .
12.经过点A(4,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 .
解析 当截距为0时，设直线方程为y＝kx，则4k＝2，
x＋3y－10＝0或x－2y＝0
综上，直线l的一般式方程为x＋3y－10＝0或x－2y＝0.
13.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是 .
解析 直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，
解析 ∵动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－3＝0.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，
当且仅当c＝2a＝2时取等号.
三、解答题15.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝ x上时，求直线AB的方程.
解 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；
证明 直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1).
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
解 直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
故k的取值范围是k≥0.
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
在y轴上的截距为1＋2k，且k>0，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l__________之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴____________时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是___________.
ZHISHISHULI
2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝_____.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝______.
3.直线方程的五种形式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
y－y0＝k(x－x0)
1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？
2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( )(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
2.[P86T3]若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
3.[P100A组T9]过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________.
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
4.(2018·石家庄模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是
5.如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
6.过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为 .
解析 ①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；
x－2y＋2＝0或x＝2
②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；
综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 .
1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.
2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.
解 如图，直线PA的倾斜角为45°，
直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).
(1)倾斜角α与斜率k的关系
(2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率.
(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tan α的单调性.
跟踪训练1 (1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于
解析 ∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，
(2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是 .
所以k＝tan α≥1.
例2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
解 方法一 设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
方法二 由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
解 设所求直线的斜率为k，依题意
又直线经过点A(－1，－3)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
解 过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求.设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
(k≠－2，否则与已知直线平行).
即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
跟踪训练2 根据所给条件求直线的方程：
解 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
解 设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a＝0，即l过(0,0)及(4,1)两点，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.
解 当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
题型三 直线方程的综合应用
命题点1 与基本不等式相结合求最值问题
例3 (2018·济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当 取得最小值时直线l的方程.
解 设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
命题点2 由直线方程解决参数问题
例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0
跟踪训练3 过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
因为直线l经过点P(4,1)，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
1.直线 x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为A.30° B.60° C.150° D.120°
解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k，
∵0°≤α<180°，∴α＝60°.
2.(2018·海淀模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小 的直线方程是A.x＝2 B.y＝1 C.x＝1 D.y＝2
解析 ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，
∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.
3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝ 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为A.150° B.135° C.120° D.不存在
显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，
故直线l的倾斜角为150°.
4.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是
解析 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合.
5.直线MN的斜率为2，其中点N(1，－1)，点M在直线y＝x＋1上，则A.M(5,7) B.M(4,5) C.M(2,1) D.M(2,3)
解析 设M的坐标为(a，b)，若点M在直线y＝x＋1上，则有b＝a＋1. ①
联立①②可得a＝4，b＝5，即M的坐标为(4,5).故选B.
6.已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是
∴要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；
7.(2018·焦作期中)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析 ①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，设该直线的方程为x＋y＝a，把(3，－1)代入所设的方程得a＝2，则所求直线的方程为x＋y＝2，即x＋y－2＝0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，
综上，所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0，故选B.
二、填空题9.一条直线经过点A(2， )，并且它的倾斜角等于直线y＝ 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是 .
10.不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点 .
∴直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(－2,1).
解析 直线mx－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)＋(－y＋1)＝0，
11.已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为 .
12.经过点A(4,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为 .
解析 当截距为0时，设直线方程为y＝kx，则4k＝2，
x＋3y－10＝0或x－2y＝0
综上，直线l的一般式方程为x＋3y－10＝0或x－2y＝0.
13.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是 .
解析 直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，
解析 ∵动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－3＝0.又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，
当且仅当c＝2a＝2时取等号.
三、解答题15.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝ x上时，求直线AB的方程.
解 由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；
证明 直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1).
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
解 直线l的方程可化为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，
故k的取值范围是k≥0.
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
在y轴上的截距为1＋2k，且k>0，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
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