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高中数学高考60第九章 平面解析几何 9 6 双曲线课件PPT
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这是一份高中数学高考60第九章 平面解析几何 9 6 双曲线课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，课时作业，基础知识自主学习，题型分类深度剖析，题型一双曲线的定义等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
平面内与两个定点F1，F2的_________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做_____________，两焦点间的距离叫做______________.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当_________时，P点的轨迹是双曲线；(2)当_________时，P点的轨迹是两条射线；(3)当________时，P点不存在.
ZHISHISHULI
2.双曲线的标准方程和几何性质
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定.当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
提示 若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.
3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0
4.[P62A组T6]经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_________.
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2
例1 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
解析 如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝___.
解析 ∵由双曲线的定义有
1.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
∴|PF1|·|PF2|＝8，
2.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“ ”，则△F1PF2的面积是多少？
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1 设双曲线x2－ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.
设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2018·大连调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
解 设双曲线的标准方程为
∴b＝6，c＝10，a＝8.
②焦距为26，且经过点M(0,12)；
解 ∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
解 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB<0).
跟踪训练2 (1)(2018·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_________.
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.
可得a2＋b2＝9. ②由①②可得a2＝4，b2＝5.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 与渐近线有关的问题
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
命题点2 求离心率的值(或范围)
例4 已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，A，B是圆(x＋c)2＋y2＝4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线的离心率为________.
解析 由双曲线定义及题意得|AF2|＝2a＋2c，|BF2|＝2c－2a，因为F1A∥F2B，所以∠F2F1A＋∠F1F2B＝180°，所以cs∠F2F1A＝－cs∠F1F2B，
化简得2e2－3e－1＝0，
(1)求双曲线的渐近线的方法
(2)求双曲线的离心率
(ⅱ)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
解析 由|F1F2|＝2|OP|，可得|OP|＝c，故△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF1|＝2a＋|PF2|，所以(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，整理得(|PF2|＋a)2＝2c2－a2.又|PF1|≥3|PF2|，即2a＋|PF2|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.
GAOPINXIAOKAODIAN
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
例2 已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为
又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，
∴a2＋2b2＝16， ②由①②可得，a2＝4，b2＝6，
4.(2018·河南洛阳联考)设F1，F2分别为双曲线 ＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于A.4 B.3 C.2 D.1
A.3 B.2 C.－3 D.－2
解析 由题意及正弦定理得
∴|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，又|F1F2|＝4，由余弦定理可知
由题意可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，
当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B.
A.32 B.16 C.84 D.4
所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，
10.已知F1，F2分别是双曲线x2－ ＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于___.
解析 由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1为等腰三角形，∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1为等腰直角三角形.
12.(2018·福建六校联考)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为___.
解析 设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又△APQ的一个内角为60°，∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得，|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cs∠F1FP，
因为点P在双曲线C上，
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|.
15.已知双曲线E： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝8，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝ ，则E的离心率是
解析 如图所示，设PF1，PF2分别与△PAF2的内切圆切于M，N，依题意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，|NF2|＝|QF2|，
16.已知双曲线 ＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为__.
解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
当P，F1，F2三点不共线时，在△PF1F2中，由余弦定理，
当P，F1，F2三点共线时，
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
平面内与两个定点F1，F2的_________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做_____________，两焦点间的距离叫做______________.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当_________时，P点的轨迹是双曲线；(2)当_________时，P点的轨迹是两条射线；(3)当________时，P点不存在.
ZHISHISHULI
2.双曲线的标准方程和几何性质
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定.当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.
2.方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
提示 若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.
3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0
4.[P62A组T6]经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_________.
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2
例1 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
解析 如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝___.
解析 ∵由双曲线的定义有
1.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
∴|PF1|·|PF2|＝8，
2.本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“ ”，则△F1PF2的面积是多少？
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，
(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
跟踪训练1 设双曲线x2－ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.
设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2018·大连调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
解 设双曲线的标准方程为
∴b＝6，c＝10，a＝8.
②焦距为26，且经过点M(0,12)；
解 ∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
解 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB<0).
跟踪训练2 (1)(2018·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_________.
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.
可得a2＋b2＝9. ②由①②可得a2＝4，b2＝5.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 与渐近线有关的问题
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
命题点2 求离心率的值(或范围)
例4 已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，A，B是圆(x＋c)2＋y2＝4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线的离心率为________.
解析 由双曲线定义及题意得|AF2|＝2a＋2c，|BF2|＝2c－2a，因为F1A∥F2B，所以∠F2F1A＋∠F1F2B＝180°，所以cs∠F2F1A＝－cs∠F1F2B，
化简得2e2－3e－1＝0，
(1)求双曲线的渐近线的方法
(2)求双曲线的离心率
(ⅱ)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
解析 由|F1F2|＝2|OP|，可得|OP|＝c，故△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF1|＝2a＋|PF2|，所以(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，整理得(|PF2|＋a)2＝2c2－a2.又|PF1|≥3|PF2|，即2a＋|PF2|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.
GAOPINXIAOKAODIAN
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
例2 已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为
又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，
∴a2＋2b2＝16， ②由①②可得，a2＝4，b2＝6，
4.(2018·河南洛阳联考)设F1，F2分别为双曲线 ＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于A.4 B.3 C.2 D.1
A.3 B.2 C.－3 D.－2
解析 由题意及正弦定理得
∴|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，又|F1F2|＝4，由余弦定理可知
由题意可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，
当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B.
A.32 B.16 C.84 D.4
所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，
10.已知F1，F2分别是双曲线x2－ ＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于___.
解析 由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1为等腰三角形，∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1为等腰直角三角形.
12.(2018·福建六校联考)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为___.
解析 设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又△APQ的一个内角为60°，∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，∴|PF1|＝3a＋c，在△PFF1中，由余弦定理得，|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cs∠F1FP，
因为点P在双曲线C上，
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|.
15.已知双曲线E： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝8，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝ ，则E的离心率是
解析 如图所示，设PF1，PF2分别与△PAF2的内切圆切于M，N，依题意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，|NF2|＝|QF2|，
16.已知双曲线 ＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为__.
解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
当P，F1，F2三点不共线时，在△PF1F2中，由余弦定理，
当P，F1，F2三点共线时，
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