高中数学高考34第六章 数 列 6 3 等比数列及其前n项和课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于_________ (不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 (n∈N*，q为非零常数). (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么 叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒ .
ZHISHISHULI
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ .(2)前n项和公式：Sn＝ .
3.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am· (n，m∈N*).(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ ＝ .(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
1.将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？
提示　仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数.
2.任意两个实数都有等比中项吗？
提示　不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项.
3.“b2＝ac”是“a，b，c”成等比数列的什么条件？
提示　必要不充分条件.因为b2＝ac时不一定有a，b，c成等比数列，比如a＝0，b＝0，c＝1.但a，b，c成等比数列一定有b2＝ac.
题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)(2)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.(　　)(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列.(　　)(5)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)
3.[P54T3]公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为A.8 B.9 C.10 D.11
解析　由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.
解析　∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，
解析　设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 秒，该病毒占据内存8 GB.(1 GB＝210 MB)
解析　由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，则2n＝8×210＝213，∴n＝13.即病毒共复制了13次.∴所需时间为13×3＝39(秒).
题型一　等比数列基本量的运算
解析　设等比数列{an}的公比为q，
2.(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；
解　设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论.
题型二　等比数列的判定与证明
例1　已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
解　因为an＋1＝5an－2·3n，所以an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)，又a1＝8，所以a1－3＝5≠0，所以数列{an－3n}是首项为5、公比为5的等比数列.所以an－3n＝5n，所以an＝3n＋5n.
跟踪训练1 (2018·黄山模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
故an＝(3n－1)·2n－2.
题型三　等比数列性质的应用
(2)(2018·大连模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于A.－9 B.－21 C.－25 D.－63
解析　因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.
等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形.(2)等比中项的变形.(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
跟踪训练2　 (1)等比数列{an}各项均为正数，a3a8＋a4a7＝18，则 a1＋ a2＋…＋ a10＝ .
解析　由a3a8＋a4a7＝18，得a4a7＝9
解析　很明显等比数列的公比q≠1，
关于等差(比)数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件.
GAOPINXIAOKAODIAN
解析　已知等差数列{an}的首项和公差均不为0，且满足a2，a5，a7成等比数列，∴(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴10d2＝－a1d，∵d≠0，∴－10d＝a1，
例2　 (2018·烟台质检)已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为A.3n＋1 B.3n－1
解析　∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1，又数列{an}为等比数列，∴数列{an}的公比为q＝3，
∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，
1.(2018·重庆巴蜀中学月考)已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为
2.已知递增的等比数列{an}中，a2＝6，a1＋1，a2＋2，a3成等差数列，则该数列的前6项和S6等于
解析　设数列{an}的公比为q，由题意可知，q>1，
整理可得2q2－5q＋2＝0，
3.(2018·马鞍山质检)等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1
A.－5 B.－3 C.5 D.3
5.(2019·西北师大附中冲刺诊断)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为A.10 B.9 C.8 D.7
解析　设该女子第一天织布x尺，
6.若正项等比数列{an}满足anan＋1＝22n(n∈N*)，则a6－a5的值是
解析　设正项等比数列{an}的公比为q>0，∵anan＋1＝22n(n∈N*)，
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2 018，a2＋a4＝－2a3，则S2 019＝ .
解析　∵a2＋a4＝－2a3，∴a2＋a4＋2a3＝0，a2＋2a2q＋a2q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，解得q＝－1.∵a1＝2 018，
则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，
解得a5＝3(舍负)，即a1q4＝3，
∵S4＋S12＝λS8，
1－q4＋1－q12＝λ(1－q8)，
(1)求b1，b2，b3；
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
解　{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
(3)求{an}的通项公式.
解　由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
证明　b1＝a2－a1＝1.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
解析　因为f′(x)＝x2－8x＋6，所以a1·a4 037＝6，
解析　 由数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1－2，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－2n＋2＝2n，a1＝S1＝2，满足上式，
＝n(n＋1)＋2n＋1－2，当n＝9时，T9＝9×10＋210－2＝1 112>1 024，当n＝8时，T8＝8×9＋29－2＝582<1 024，所以满足Tn>1 024的最小n的值为9.
15.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为A.4 B.5C.6 D.7
解析　∵{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a4＝a3，又∵q>1，∴a11(n>3)，故n的最小值为6，故选C.
16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2，并记an＝lg2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，求数列{an}的通项公式.
解　an＝lg2(1·x1·x2·…·xt·2)，所以an＋1＝lg2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]