高中数学高考33第六章 数 列 6 2 等差数列及其前n项和课件PPT

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NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习
题型分类 深度剖析
1.等差数列的定义一般地，如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母__表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .3.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的 .
ZHISHISHULI
从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
an＝a1＋(n－1)d
4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为 .(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列.(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列.
ak＋al＝am＋an
7.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 值.
5.等差数列的前n项和公式
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示　不一定.当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数.
3.如何推导等差数列的前n项和公式？
提示　利用倒序相加法.
题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　　)(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.(　　)
2.[P46A组T2]设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于A.31 B.32 C.33 D.34
3.[P39T5]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝ .
解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ 时，{an}的前n项和最大.
解析　因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0.故当n＝8时，其前n项和最大.
6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过 秒落到地面.
解析　设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
题型一　等差数列基本量的运算
解析　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于A.－12 B.－10C.10 D.12
将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
解析　由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，
2.(2018·吉林模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7等于A.28 B.21 C.14 D.7
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个.(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型二　等差数列的判定与证明
解　∵an是1与anan＋1的等差中项，
例1　在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项..
等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列.(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
题型三　等差数列性质的应用
命题点1　等差数列项的性质
例2　(2018·上饶模拟)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9等于A.9 D.81
解析　由等差数列的性质可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，
命题点2　等差数列前n项和的性质
解析　在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7,14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.
例3　(1)(2019·漳州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于A.35 B.42 C.49 D.63
等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.
解析　∵a3＋a5＋a7 ＝3a5＝15，∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d，可得d＝1，故选B.
跟踪训练2　(1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d等于A.0 B.1 C.－1 D.2
(2)(2019·莆田质检)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为A.6 B.7 C.8 D.13
解析　根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.
1.若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于
解析　由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，
2.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6等于A.38 B.39 C.41 D.42
解析　由a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，可得，3a1＋6d＝24，解得d＝3，∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.故选D.
3.(2018·新乡模拟)已知等差数列{an}中，a1 012＝3，S2 017＝2 017，则S2 020等于A.2 020 B.－2 020C.－4 040 D.4 040
解析　由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，
4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为A.65 B.176 C.183 D.184
解析　根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
解得a1＝65.由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
5.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正确的结论是A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④
解析　a1＋5(a1＋2d)＝8a1＋28d，所以a1＝－9d，a10＝a1＋9d＝0，正确；由于d的符号未知，所以S10不一定最大，错误；S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，所以S7＝S12，正确；S20＝20a1＋190d＝10d，错误.所以正确的是①③，故选C.
A.14 B.15 C.16 D.17
解析　∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，∴公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列.
∴a8·a9<0，a8＋a9>0，由等差数列的性质知，2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.
∴当Sn>0时，n的最小值为16.
7.(2018·北京)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为 .
an＝6n－3(n∈N*)
解析　方法一　设公差为d.∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，∴通项公式an＝a1＋(n－1)d＝6n－3(n∈N*).方法二　设公差为d，∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，
∵a1＝3，∴通项公式an＝6n－3(n∈N*).
解析　根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，2a1＋2a13＝4a7＝2π，所以有sin 2a1＋cs a1＋sin 2a13＋cs a13＝sin 2a1＋sin(2π－2a1)＋cs a1＋cs(π－a1)＝0.
解析　在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，
且a1＝1，a3＝9，
∴an＝(n2－3n＋3)2，n＝1时也成立.∴an＝(n2－3n＋3)2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
∴{bn}是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
12.(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；
解　设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9(n∈N*).
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
(2)求Sn，并求Sn的最小值.
13.(2018·佛山质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，bn＝ 且b1＋b3＝17，b2＋b4＝68，则S10等于A.90 D.120
解析　设{an}公差为d，
解析　等差数列{an}的公差d为，前8项和为6π，
解析　设an＝2＋(n－1)d，
所以其通项是一个关于n的一次函数，所以(d－2)2＝0，∴d＝2.所以a20＝2＋(20－1)×2＝40.
所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－2(n≥2，n∈N*)，
当n＝1时，a1＝2，符合上式，
所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N*)，两式相减得bn＝32－n(n≥2，n∈N*).当n＝1时，b1＝3，符合上式，所以bn＝32－n(n∈N*).所以cn＝(2－k)n＋2k－1.因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，