中考数学二轮复习几何专项复习专题16 几何最值之阿氏圆知识精讲

几何最值之阿氏圆知识精讲

在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线(即线段AB的垂直平分线)，如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k(k≠1)时P点的轨迹。

 对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P且P满足PA：PB＝k(k≠1)，则动点P的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：

 借助画板工具我们发现，动点P在运动过程中，PA、PB的长度都在变化，但是PA：PB的比值始终保持不变，接下来我们在深入研究一下！

若，设，如图所示：

由图可以发现在AB上存在点C使得，在AB延长线上存在点D使得，也就是说，当点P与点C、D重合时，符合条件；

当点P不与点C、D重合时，对于任意一点P，连接PA、PB、PC，可得，所以PC为△PAB一条内角平分线，再连接PD，可得，所以PD为△PAB一条外角平分线，所以PC⊥PD，即∠CPD＝90º，所以点P的轨迹是以CD为直径的一个圆.

当我们遇到平面内一动点到两定点之比为定值且不为1的情况时，可以在过两定点的直线上按定比确定内分点和外分点，并以之为直径做圆从而确定动点的轨迹.

如何具体证明P点的轨迹就是一个完整的圆呢？

 分别取线段AB的内外分点C、D，再取CD中点O，可得，设，则，由线段位置关系可得AC＋BC＋BD＝AD，则，解得，.

又，即，

整理得，即，

当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：

易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.

 对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需，就可以构造出上述的A字型相似(详见本专辑的相似模型).

例1、如图，正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上一动点，则的最小值为                 ，的最大值为                 .

【解答】最小值为5，最大值为5

【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所示：

∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，

∴，

在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，

最小值为；

当点P在DG的延长线时，的值最大，如图所示：

此时最大值也是DG，最大值为5.

例2、如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，点P为弧AB上一动点，求的最小值.

【解答】

【解析】当A、P、D三点共线时，的值最小.

连接PB、CO，AD与CO相交于点M，如图所示：

∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,

∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,

∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,

∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,

∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,

∴AC∥PO,∠CAO＝90º

∵AC＝PO＝1,

∴四边形AOPC是平行四边形,

而OA＝OP,∠CAO＝90º,

∴四边形AOPC是正方形,

，

∴PC＋PD＝PM＋PD＝DM,

∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"可知此时PC＋PD的值最小，

最小值为.