中考数学二轮复习几何专项复习专题22 正方形存在性问题知识精讲

正方形存在性问题知识精讲

一、关于正方形的基础知识

1. 正方形的定义

 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形；

2. 正方形的性质(正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质)

 边：四边相等，邻边垂直，对边平行；

 角：四个角都是直角；

 对角线：对角线相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

 正方形是轴对称图形，有4条对称轴；

 正方形是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心.

3. 正方形的判定

 四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；

 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；

 有一组邻边相等的矩形是正方形；

 有一个角是直角的菱形是正方形.

4. 特殊四边形之间的关系如图所示：

二、正方形存在性问题解决策略

1. 从未知量的角度来看，正方形可以有4个未知量，所以它的坐标应满足4个等量关系，互相平分2个，垂直(1个)且相等(1个).

 已知平面内2个定点，可以在平面内确定2个点使得它们构成正方形，但是，如果要在某条直线上确定点，很有可能会出现不存在的情况(未知量小于方程个数，无解).

 解决正方形存在性问题一般不用代数法，因为要列四元一次方程组，比较麻烦！

2. 解决正方形存在性问题常用方法

①从正方形判定入手

 若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等；

 若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直；

 若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可.

②构造三垂直全等

 若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再进一步求出第4个点.

 若题目中给了4个动点，则先要判断此时的四边形是否为特殊的四边形，在特殊四边形基础上，再添加某些条件，使得其构成一个正方形.

例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动，问：

(1)P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？

(2)是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．

【解答】(1)P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；(2)不存在

【解析】(1)过点P作PH⊥CD于点H，如图所示：

∴HQ＝16﹣5t，

∴PQ2＝PH2+HQ2，

即102＝(16﹣5t)2+62，

解得，

答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；

(2)∵四边形PBCQ是正方形，

∴BP＝CQ，即16﹣3t＝2t，

解得，

∵，

∴不成立．

例2：如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A(6，0)，点C(0，4)，AB＝5OB，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

(4)是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】(1)y＝ax2+bx+c，顶点坐标为；(2)S=﹣4x2+28x﹣24(1＜x＜6)；(3)不是菱形；(4)不存在

【解析】(1)∵点A(6，0)，AB＝5OB，

∴点B(1，0)，

设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

则由题意可得：，解得，

∴所求抛物线的解析式为，

∵，

∴所求抛物线的顶点坐标为；

(2)∵点E(x，y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，∴y＜0，

即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．

∵OA是平行四边形OEAF的对角线，

∴S＝2S△OAE＝2××OA•|y|＝﹣6y＝﹣6(x2﹣x+4)＝﹣4x2+28x﹣24，

自变量x的取值范围为：1＜x＜6；

(3)根据题意得：﹣4x2+28x﹣24＝24，

解之，得x1＝3，x2＝4，

∴所求的点E有两个，分别为E1(3，﹣4)，E2(4，﹣4)，

∵点E1(3，﹣4)，

∴OE＝5，，

∴OE＝AE，

∴平行四边形OEAF是菱形，

∵点E2(4，﹣4)，

∴OE＝，，

∴不满足OE＝AE，

∴平行四边形OEAF不是菱形；

(4)∵当OA⊥EF，且OA＝EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能(3，﹣3)，而坐标为(3，﹣3)点不在抛物线上，

∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．

例3：如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a(x﹣2)2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．

(1)求a，k的值；

(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；

(3)点M为抛物线上任意一点，点N为对称轴上任意一点，是否存在点M，N使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出求此正方形的边长．若不存在，请说明理由．

【解答】(1)a，k的值分别为1，﹣1；(2)Q(2，2)；(3)存在，边长为.

【解析】(1)∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，

∴A(1，0)，B(0，3)．

又∵抛物线y＝a(x﹣2)2+k经过点A(1，0)，B(0，3)，

∴，解得，

故a，k的值分别为1，﹣1；

(2)如图，

设Q点的坐标为(2，m)，对称轴x＝2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x＝2于点E．

在Rt△AQF中，AQ2＝AF2+QF2＝1+m2，

在Rt△BQE中，BQ2＝BE2+EQ2＝4+(3﹣m)2，

∵AQ＝BQ，

∴1+m2＝4+(3﹣m)2，

∴m＝2，

∴Q点的坐标为(2，2)；

(3)如图，

当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．

∵对称轴x＝2是AC的中垂线，

∴M点与顶点P(2，﹣1)重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为(2，1)．

此时，MF＝NF＝AF＝CF＝1，且AC⊥MN，

∴四边形AMCN为正方形．

在Rt△AFN中，，

即正方形的边长为．