高中数学高考第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题6 第4讲 导数的热点问题(大题)(1)

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第4讲　导数的热点问题(大题)

热点一　导数的简单应用
利用导数研究函数的单调性是导数应用的基础，只有研究了函数的单调性，才能研究其函数图象的变化规律，进而确定其极值、最值和函数的零点等.注意：若可导函数f(x)在区间D上单调递增，则有f′(x)≥0在区间D上恒成立，但反过来不一定成立.
例1　(2019·武邑调研)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b为常数且a≠0)在x＝1处取得极值.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求a的值.
解　(1)因为f(x)＝ln x＋ax2＋bx，x>0，
所以f′(x)＝＋2ax＋b，
因为函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx在x＝1处取得极值，
所以f′(1)＝1＋2a＋b＝0，
当a＝1时，b＝－3，
令f′(x)＝＝0，
得x＝1或x＝.
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x



1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗

所以f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为.
(2)由(1)知b＝－2a－1，
则f(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x，
因为f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，
因为f(x)在 x＝1处取得极值，
所以x2＝≠x1＝1，即a≠，
当a0，则f′(x)>0⇔x>，
f′(x)0，
设g(x)＝2x－2－(a＋2)ln x，x>1，
则|f(x)|>2ln x等价于g(x)>0，
g′(x)＝2－＝，
g′(x)>0⇔x>，g′(x)0，
故不存在正实数m，使得对任意x∈(1，m)都有|f(x)|>2ln x恒成立，
故24，易知h(x)在上为减函数，在上为增函数，
∵h(1)＝0，∴∀x∈，h(x)2ln x恒成立，
故a>4满足条件.
综上所述，实数a的取值范围为(4，＋∞).
跟踪演练3　(2019·南充调研)已知f(x)＝ax－ln(－x)，x∈[－e,0)，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)当a＝－1时，证明：f(x)＋>；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由.
(1)证明　由题意可知，
所证不等式为f(x)>－，x∈[－e,0)，
当a＝－1时，f(x)＝－x－ln(－x)，x∈[－e,0)，
因为f′(x)＝－1－＝－，
所以当－e≤x.
解　(1)依题意得，x>0且x≠，
f′(x)＝，f′(1)＝0.
令g(x)＝1＋ln x－，g′(x)＝＋>0，
∴g(x)在定义域上单调递增，g(1)＝0，
∴当00，
∴x>1时，g(x)单调递增，g(x)>g(1)＝0.
综上可得x∈∪(1，＋∞).