中考数学专题冲刺高分狙击【专题分析＋解题方法＋知识结构＋典例精选＋能力评估检测】：专题八　统计与概率 含解析答案

专题八　统计与概率

【专题分析】

统计与概率在中考中的常考点有数据的收集方法，平均数、众数和中位数的计算与选择，方差和标准差的计算和应用，统计图的应用及信息综合分析；事件的分类，简单事件的概率计算，画树状图或列表求概率，对频率和概率的理解等．统计与概率在中考中一般以客观题的形式进行考查，选择题、填空题较多，同时考查多个考点的综合性题目一般以解答题的形式进行考查；统计与概率在中考中所占的比重约为6%～12%.

【解题方法】

解决统计与概率问题常用的数学思想是方程思想和分类讨论思想；常用的数学方法有分类讨论法，整体代入法等．

【知识结构】

【典例精选】

为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2014年4月份用电量的调查结果.

那么关于这10户居民月用电量(单位：千瓦时)，关于这组数据下列说法错误的是(　　)

A．中位数是55     B．众数是60

C．方差是29       D．平均数是54

【思路点拨】根据众数、中位数、方差、平均数的定义及计算公式分别进行计算，即可得出答案．

答案：C

规律方法：

解决此类题目的关键是准确掌握各个统计量的概念及计算方法，分别计算直接选择或排除.

若一组数据1,2，x,4的众数是1，那么这组数据的方差是  .

【思路点拨】根据众数的定义求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．

【解析】根据众数的意义得到x＝1，这组数据的平均数＝＝2，所以这组数据的方差是S2＝     [(1－2)2＋(2－2)2＋(1－2)2＋(4－2)2]＝×6＝.

规律方法：

为了准确而快速地记忆方差的计算公式，可以用下面12个字来理解性的记忆，即“先平均、再作差、平方后、再平均”，也就是说，先求出一组数据的平均数，再将每一个数据都与平均数作差，然后将这些差进行平方，最后求这些差的平方的平均数，其结果就是这组数据的方差.

作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如下：

宁波市4月份某一周公共自行车日租车量统计图

(1)求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；

(2)用(1)中的平均数估计4月份(30天)共租车多少万 车次；

(3)市政府在公共自行车建设项目中共投入9 600万元，估计2014年共租车3 200万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2014年租车费收入占总投入的百分率(精确到0.1%)．

【思路点拨】(1)根据众数、中位数和平均数的定义即可求出； (2)4月份天数与平均数的积；(3)租车的次数与每次的租车费的积为租车收入，由租车收入与投入的比即可求出百分率．

【自主解答】

解：(1)8,8,8.5.

(2)30×8.5＝255(万车次)．

(3)3 200×0.1÷9 600＝1÷30≈3.3%.

答：2014年租车费收入占总投入的3.3%.

某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛．九年级一班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来确定谁去参赛(胜者参赛)．

规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．

如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：

(1)小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？

(2)该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由．

(骰子：六个面上分别刻有1,2,3,4,5,6个小圆点的小正方体)

【思路点拨】(1)由题意得，掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数的等可能的情况共有6种，其中点数为奇数的情况有3种，所以P＝＝；(2)判断游戏是否公平，利用画树状图或列表法表示出所有等可能的情况，求出两人胜出的概率，若概率相同，则游戏公平，否则游戏不    公平．

【自主解答】

解：(1)所求概率P＝＝.

(2)游戏公平．理由如下：

由上表可知，共有36种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有9种结果，∴P(小亮胜)＝＝，P(小丽胜)＝＝.

∴该游戏是公平的．

规律方法：

解决判断游戏是否公平的问题，首先应分别计算出两人获胜的概率，然后比较两个概率的大小，若相同则公平，若不相同则不公平.

【能力评估检测】

一、选择题

1．下列事件是随机事件的是(  D  )

A．明天太阳从东方升起

B．任意画一个三角形，其内角和是360°

C．通常温度降到0 ℃以下，纯净的水结冰

D．射击运动员射击一次，命中靶心

2．某校为纪念世界反法西斯战争70周年，举行了主题为“让历史照亮未来”的演讲比赛，其中九年级的5位参赛选手的比赛成绩(单位：分)分别为8.6,9.5,9.7,8.7,9，则这5个数据的中位数和平均分分别是(  C  )

A．9.7,9.1        B．9.5,9.1 

C．9,9.1         D．8.7,9

3．甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩(单位：分)如下表：

据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲＝17，S乙＝25，下列说法正确的是(    )

A．甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分

B．甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分

C．乙同学四次数学测试成绩的众数是80分

D．乙同学四次数学测试成绩较稳定

答案: B

4．一个袋子中装有6个黑球和3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是(  B  )

A. 　　　  B. 　　　  C. 　　　  D.

5．如图，在一长方形内有对角线长分别为2和3的菱形、边长为1的正六边形和半径为1的圆，则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是(  B  )

A．落在菱形内         B．落在圆内

C．落在正六边形内     D．一样大

6．小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是(  B  )

A.        B.        C.        D.

7．为积极响应创建“全国卫生城市”的号召，某校   1 500名学生参加了卫生知识竞赛，成绩记为A，B，C，D四等．从中随机抽取了部分学生的成绩进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，以下说法不正确的是(    )

A．样本容量是200

B．D等所在扇形的圆心角为15°

C．样本中C等所占百分比是10%

D．估计全校学生成绩为A等的有900人

答案: B

8．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表所示：

如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取(  B  )

A．甲        B．乙        C．丙        D．丁

9．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……如此大量摸球实验后，小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%，摸出黑球的频率稳定于50%，对此实验，他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次，必有20次摸出的是红球．其中说法正确的是(  B  )

A．①②③     B．①②     C．①③     D．②③

10．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数．如796就是一个“中高数”．若十位上的数字为7，则从3,4,5,6,8,9中任选两个数，与7组成“中高数”的概率是(  C  )

A.        B.        C.        D.

二、填空题

11．一组正整数2,3,4，x从小到大排列，已知这组数据的中位数和平均数相等，那么x的值是5 .

12．如图，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字1,2,3,4,5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止转动时，记指针指向标有偶数所在区域的概率为P(偶数)，指针指向标有奇数所在区域的概率为  P(奇数)，指针落在线上时重转，则P(偶数)< P(奇数)(填“＞”“＜”或“＝”)．

13．“服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是  .

三、解答题

14．要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图．

(1)已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；

(2)观察图形，直接写出甲、乙这10次射击成绩的方差S甲，S乙 哪个大；

(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选7环参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选9环参赛更合适．

解：(1)乙的平均成绩：(8＋9＋8＋8＋7＋8＋9＋8＋8＋7)÷10＝8(环)．

(2)根据图象可知，甲的波动小于乙的波动，

则S甲 ＜S乙 .

(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选乙参赛更合适；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选甲参赛更合适．

15．在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“通过”(用√表示)或“淘汰”(用×表示)的评定结果．节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级．

(1)请用树状图列举出选手A获得三位评委评定的各种可能的结果；

(2)求选手A晋级的概率．

解：(1)根据题意画树状图如下：

由树状图可知，选手A一共获得8种可能的结果，这些结果的可能性相等．

(2)P(A晋级)＝＝.

16．为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图(每人只能选择一个小组)．

(1)报名参加课外活动小组的学生共有30人，将条形图补充完整；

(2)扇形图中m＝25，n＝108；

(3)根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明．

解：(1)∵由两种统计图可知，报名参加“地方戏曲”小组的有13人，占13%，

∴报名参加课外活动小组的学生共有

13÷13%＝100(人)，

参加“民族乐器”小组的有100－32－25－13＝30(人)．

 (2)∵m%＝×100%＝25%.

∴m＝25.n＝×360＝108.

(3)画树状图如下：

∵共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙的有2种，

∴P(选中甲、乙)＝＝.