初中数学苏科版八年级下册12.1 二次根式学案

专题12.3《二次根式混合运算（难）》专项训练40题(每日打卡·天天练系列)(苏科版)(原卷版)

一．解答题（共40小题）

1．计算：

（1）；       （2）．

2．计算题：

（1）                  （2）

（3）         （4）

3．计算化简

（1）；                  （2）；

（3）；                    （4）．

4．观察下列计算：．

，

，

，

（1）运用上面的计算方法化简为正整数）；

（2）利用上面的结论计算：；

（3）计算：．

5．材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．

例如：，则的一个有理化因式是．的一个有理化因式是．

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．

例如：．

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

（1）的有理化因式为 　　，的有理化因式为 　　；（均写出一个即可）

（2）计算：；

（3）当时，求代数式的最大值．

6．阅读下列材料，并回答问题：

把形如与、为有理数且，为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．

（1）请你举出一对共轭实数：　　和 　　；

（2）和是共轭实数吗？若是请指出、的值；

（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是，请求出这两个共轭实数．

7．阅读下面的材料，解决问题：

像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．

例如：；；

（1）计算：　　；　　；

（2）计算：；

（3）比较和的大小，并说明理由；

（4）计算：．

8．计算：

（1）；                （2）．

9．先阅读材料，然后回答问题．

（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简

经过思考，小张解决这个问题的过程如下：

①

②

③

④

在上述化简过程中，第　　步出现了错误，化简的正确结果为　　；

（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简．

10．【阅读材料】像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．

【解决问题】

（1）填空：的有理化因式为 　　；

（2）化简：；

（3）已知正整数，满足，求，的值．

11．计算：

（1）；                （2）．

12．在二次根式中有种相辅相成的“对子”如：，与的乘积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式．于是可以这样化简：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．

解决问题：

（1）的有理化因式是 　　，分母有理化得 　　；

（2）计算：；

（3）若，求的值．

13．化简：

①；                ②；

③；                ④．

14．阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：

设（其中、、、均为整数），则有．

，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　 　，　 　；

（2）利用所探索的结论，请找一组正整数、、、填空：

　 　　 　　 　　 　；

（3）若且、、均为正整数，求的值．

15．“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，．

像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．

解决下列问题：

（1）将分母有理化得　　；的有理化因式是　　；

（2）化简：　　；

（3）化简：．

16．化简与计算：

（1）                 （2）

（3）                 （4）

17．（1）                  （2）

（3）                  （4）

18．（1）化简：

（2）计算：．

19．计算与化简：

（1）；                  （2），；

（3）；                 （4）．

20．计算或化简：

（1）                 （2），

（3）                  （4）

（5）                 （6）．

21．计算．

（1）；                 （2）；

（3）；                （4）．

22．计算：

（1）                 （2）

（3）                 （4）

23．化简或计算：

（1）                  （2）

（3）                  （4）．

24．计算：

（1）；                  （2）；

（3）；                  （4）．

25．计算：

（1）                  （2）

（3）；                  （4）．

26．计算：

（1）                   （2）

27．阅读材料： 小聪在学习二次根式后， 发现含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 即．

于是， 爱动脑筋的小聪又提出了一个问题：是否也能写成另一个式子的平方呢？经过探索， 他联想到老师讲的方程思想， 找到了一种把化成平方式的方法：

设，则，

．

整理得．

、可看作一元二次方程的两根 ．

解方程， 得，．

于是有．

参考上述方法， 解决下列问题：

（1） 化简下列根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上：

　   　，　   　，　   　；

（2） 化简：①，②；

（3） 化简．

28．计算．

（1）；                 （2）．

29．计算：

（1）                  （2）．

30．计算：

（1）                  （2）．

31．计算或化简：

（1）      （2）

32．计算：

（1）；                  （2）．

33．仿照下列过程：

；

；

（1）运用上述的方法可知：　　，　　；

（2）拓展延伸：计算：．

34．像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

（1）化简：；

（2）计算：；

（3）比较与的大小，并说明理由．

35．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．

解决问题：

（1）比较大小：　　（用“”“ ”或“”填空）；

（2）计算：；

（3）设实数，满足，求的值．

36．阅读材料：像、、两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．

在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．

例如：；．

解答下列问题：

（1）与　　互为有理化因式，将分母有理化得　　；

（2）计算：；

（3）已知有理数、满足，求、的值．

37．先阅读下列材料，再解决问题：

阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面一层根号．

例如：

解决问题：

①在括号内填上适当的数：

②根据上述思路，试将予以化简．

38．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式．

比如：．善于动脑的小明继续探究：

当，，，为正整数时，若，则有，所以，．

请模仿小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当，，，为正整数时，若，请用含有，的式子分别表示，，得：　　，　　；

（2）填空：　　　　；

（3）若，且，，为正整数，求的值．

39．计算与化简

（1）；                （2）；

（3）；            （4）．

40．（1）                  （2）