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高中数学高考1 第1讲 集合的概念与运算
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这是一份高中数学高考1 第1讲 集合的概念与运算，共15页。试卷主要包含了集合与元素，集合间的基本关系，补集的性质等内容，欢迎下载使用。
第1讲 集合的概念与运算
最新考纲
考向预测
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
命题
趋势
集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.
核心
素养
数学抽象、数学运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
[注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号
语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合
相等
集合A，B中元素相同
A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
语言
符号
语言
A∪B＝
{x|x∈A或x
∈B}
A∩B＝
{x|x∈A且x∈
B}
∁UA＝
{x|x∈U且
x∉A}
常用结论
1．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
2．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
3．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
常见误区
1．忽视集合中元素的互异性致误；
2．集合运算中端点取值把握不准致误；
3．忘记空集的情况致误．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( )
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.( )
(3)若AB，则A⊆B且A≠B.( )
(4)N*NZ.( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
解析：选C.当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.
故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．
3．(2020·新高考卷Ⅰ改编)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2
答案：{x|1≤x＜4} {x|2＜x≤3}
4．(易错题)已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．
解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．
答案：{－1}
5．设集合A＝{x|1
集合的含义及表示
[题组练透]
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为( )
A．0 B．
C．1 D．2
解析：选BD.因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，
所以或
解得或
所以m＋n＝或m＋n＝2.故选BD.
4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
与集合中元素有关问题的求解策略
集合间的基本关系
(1)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )
A．∅ B．M
C．N D．R
(2)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1，2]
C．[－2，1] D．[2，＋∞)
【解析】 (1)因为M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，所以N＝∁RM，所以M∪(∁RN)＝M.故选B.
(2)集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因为B⊆A，所以有所以－2≤a≤1.
【答案】 (1)B (2)C
[提醒] 题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．
1．(多选)已知集合M＝{x|x<2}，N＝{x|x2－x<0}，则下列正确的是( )
A．M∪N＝R B．N⊆M
C．N∪∁RM＝R D．M∩N＝N
解析：选BD.因为N＝{x|x2－x<0}＝{x|0
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：选A.方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．
3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：由题易得M＝{a}．因为M∩N＝N，
所以N⊆M，
所以N＝∅或N＝M，
所以a＝0或a＝±1.
答案：0或1或－1
集合的基本运算
角度一 集合的运算
(1)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{－2，3} B．{－2，2，3}
C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}
(2)(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则( )
A．M∪N＝{x|－3≤x<4}
B．M∩N＝{x|－2≤x<4}
C．(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)
D．M∩(∁UN)＝(－3，－2)
【解析】 (1)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.
方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0∉∁U(A∪B)，故排除C，故选A.
(2)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁UM＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁UN＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁UN)＝[－3，－2)，D错误．故选BC.
【答案】 (1)A (2)BC
集合基本运算的求解策略
角度二 利用集合的运算求参数
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】 (1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.
方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B.
(2)根据集合并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
【答案】 (1)B (2)D
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C.由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.
2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D.∁UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
3．(2021·武昌区高三调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|a－2
C．(－2，1) D．(－2，2)
解析：选D.由x2－x－2<0得－1
核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．
(1)定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是( )
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域
D．数域必为无限集
【解析】 (1)由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B.
(2)当a＝b时，a－b＝0，＝1∈P，故可知A正确；当a＝1，b＝2时，∉Z不满足条件，故可知B不正确；当M比Q多一个元素i时，则会出现1＋i∉M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确；
根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确．
【答案】 (1)B (2)AD
解决集合的新定义问题的两个关键点
(1)准确转化，即解决新定义问题时，首先要读懂题意，对题目进行恰当的转化，切忌与已有概念混淆；
(2)方法选取，即对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法等方法，并结合集合的相关性质求解．
1．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
解析：选B.因为x∈A，且∈A，所以－1∈A，2∈A且∈A，所以集合M的非空子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，，，共3个．故选B.
2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0
结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．
答案：{0}∪[2，＋∞)
[A级 基础练]
1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－
C．B⊆A D．A⊆B
解析：选B.因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－
A．{－3，3} B．{0，2}
C．{－1，1} D．{－3，－2，－1，1，3}
解析：选C.方法一：由题知∁UB＝{－2，－1，1}，所以A∩(∁UB)＝{－1，1}，故选C.
方法二：易知A∩(∁UB)中的元素不在集合B中，则排除选项A，B，D，故选C.
3．已知集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有( )
A．7个 B．8个
C．15个 D．16个
解析：选A.因为集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}＝{x∈N＋|－1
所以真子集有23－1＝7(个)．
4．(2021·福建省质量检测)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x－4)(x＋2)≥0}，则∁R(A∪B)＝( )
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1≤x≤4}
C．{x|－2
5．(2021·昆明市三诊一模)已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．[1，3] B．(1，3]
C．{－1，2，3} D．{－1，0，2，3}
解析：选C.因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}，图中阴影部分表示的集合为(∁RA)∩B，∁RA＝{x|x≠0且x≠1}，所以(∁RA)∩B＝{－1，2，3}，故选C.
6．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x2
C．a≥－1 D．a>－1
解析：选D.由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：
易知a>－1.
7．(多选)若集合A＝{x|x(x－2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是( )
A．{－1} B．{0}
C．{1} D．{2}
解析：选BCD.因为A＝{x|x(x－2)≤0}，所以A＝[0，2]．因为A∪B＝A，所以B⊆A.由选项知有{0}A，{1}A，{2}A.故选BCD.
8．(多选)已知集合A＝{x|－1
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪∁RB＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩∁RB＝{x|2
因为∁RB＝{x|x<－2或x>2}，
所以A∪∁RB＝{x|－12}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；
A∩∁RB＝{x|－12}＝{x|2
解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
答案：0或3
10．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．
解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，∁U(A∪B)＝{x|0
解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．
答案：[－1，2) (－∞，3]
12．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为________．
解析：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
[B级 综合练]
13．(2021·百师联盟练习)已知实数集R，集合A＝{x|－1
解析：当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1
[C级 创新练]
15．(多选)(2021·海南海口第四中学月考)设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题正确的是( )
A．自然数集N为封闭集
B．整数集Z为封闭集
C．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
D．若S为封闭集，且1∈S，则S一定为无限集
解析：选BCD.对于A项，自然数集N不是封闭集，如2，3∈N，但2－3＝－1∉N，故A项错误；对于B项，因为任意两个整数的和、差、积仍然是整数，所以整数集是封闭集，故B项正确；对于C项，设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2，a1，a2，b1，b2∈Z，则x＋y＝a1＋a2＋(b1＋b2)∈S，x－y＝a1－a2＋(b1－b2)∈S，xy＝(a1＋b1)·(a2＋b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，所以集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集，故C项正确；对于D项，若S为封闭集，且1∈S，则1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，因此0－1＝－1∈S，以此类推，所有整数都属于S.而整数有无数个，所以S一定为无限集，故D项正确．
16．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
解析：由题意可知－2x＝x2＋x，
所以x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，
所以A∩B＝{0，6}．
答案：{0，6}
第1讲 集合的概念与运算
最新考纲
考向预测
1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
命题
趋势
集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.
核心
素养
数学抽象、数学运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
[注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
表示
关系
自然语言
符号
语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB
(或BA)
集合
相等
集合A，B中元素相同
A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
语言
符号
语言
A∪B＝
{x|x∈A或x
∈B}
A∩B＝
{x|x∈A且x∈
B}
∁UA＝
{x|x∈U且
x∉A}
常用结论
1．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
2．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
3．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
常见误区
1．忽视集合中元素的互异性致误；
2．集合运算中端点取值把握不准致误；
3．忘记空集的情况致误．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( )
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.( )
(3)若AB，则A⊆B且A≠B.( )
(4)N*NZ.( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
解析：选C.当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.
故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．
3．(2020·新高考卷Ⅰ改编)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2
答案：{x|1≤x＜4} {x|2＜x≤3}
4．(易错题)已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．
解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．
答案：{－1}
5．设集合A＝{x|1
集合的含义及表示
[题组练透]
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
3．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为( )
A．0 B．
C．1 D．2
解析：选BD.因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，
所以或
解得或
所以m＋n＝或m＋n＝2.故选BD.
4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
与集合中元素有关问题的求解策略
集合间的基本关系
(1)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)已知M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，则M∪(∁RN)＝( )
A．∅ B．M
C．N D．R
(2)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1，2]
C．[－2，1] D．[2，＋∞)
【解析】 (1)因为M，N均为R的子集，且∁RM⊆N，所以N＝∁RM，所以M∪(∁RN)＝M.故选B.
(2)集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因为B⊆A，所以有所以－2≤a≤1.
【答案】 (1)B (2)C
[提醒] 题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．
1．(多选)已知集合M＝{x|x<2}，N＝{x|x2－x<0}，则下列正确的是( )
A．M∪N＝R B．N⊆M
C．N∪∁RM＝R D．M∩N＝N
解析：选BD.因为N＝{x|x2－x<0}＝{x|0
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：选A.方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．
3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：由题易得M＝{a}．因为M∩N＝N，
所以N⊆M，
所以N＝∅或N＝M，
所以a＝0或a＝±1.
答案：0或1或－1
集合的基本运算
角度一 集合的运算
(1)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{－2，3} B．{－2，2，3}
C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}
(2)(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则( )
A．M∪N＝{x|－3≤x<4}
B．M∩N＝{x|－2≤x<4}
C．(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)
D．M∩(∁UN)＝(－3，－2)
【解析】 (1)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.
方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U(A∪B)，故排除B，D；又0∈A，所以0∈A∪B，所以0∉∁U(A∪B)，故排除C，故选A.
(2)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁UM＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁UN＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁UN)＝[－3，－2)，D错误．故选BC.
【答案】 (1)A (2)BC
集合基本运算的求解策略
角度二 利用集合的运算求参数
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】 (1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.
方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－2}，不满足题意．故选B.
(2)根据集合并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
【答案】 (1)B (2)D
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C.由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.
2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D.∁UA＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
3．(2021·武昌区高三调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|a－2
C．(－2，1) D．(－2，2)
解析：选D.由x2－x－2<0得－1
核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．
(1)定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是( )
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域
D．数域必为无限集
【解析】 (1)由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B.
(2)当a＝b时，a－b＝0，＝1∈P，故可知A正确；当a＝1，b＝2时，∉Z不满足条件，故可知B不正确；当M比Q多一个元素i时，则会出现1＋i∉M，所以它也不是一个数域，故可知C不正确；
根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确．
【答案】 (1)B (2)AD
解决集合的新定义问题的两个关键点
(1)准确转化，即解决新定义问题时，首先要读懂题意，对题目进行恰当的转化，切忌与已有概念混淆；
(2)方法选取，即对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法等方法，并结合集合的相关性质求解．
1．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
解析：选B.因为x∈A，且∈A，所以－1∈A，2∈A且∈A，所以集合M的非空子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，，，共3个．故选B.
2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0
结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．
答案：{0}∪[2，＋∞)
[A级 基础练]
1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－
C．B⊆A D．A⊆B
解析：选B.因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－
A．{－3，3} B．{0，2}
C．{－1，1} D．{－3，－2，－1，1，3}
解析：选C.方法一：由题知∁UB＝{－2，－1，1}，所以A∩(∁UB)＝{－1，1}，故选C.
方法二：易知A∩(∁UB)中的元素不在集合B中，则排除选项A，B，D，故选C.
3．已知集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有( )
A．7个 B．8个
C．15个 D．16个
解析：选A.因为集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}＝{x∈N＋|－1
所以真子集有23－1＝7(个)．
4．(2021·福建省质量检测)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x－4)(x＋2)≥0}，则∁R(A∪B)＝( )
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1≤x≤4}
C．{x|－2
5．(2021·昆明市三诊一模)已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．[1，3] B．(1，3]
C．{－1，2，3} D．{－1，0，2，3}
解析：选C.因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}，图中阴影部分表示的集合为(∁RA)∩B，∁RA＝{x|x≠0且x≠1}，所以(∁RA)∩B＝{－1，2，3}，故选C.
6．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x
C．a≥－1 D．a>－1
解析：选D.由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：
易知a>－1.
7．(多选)若集合A＝{x|x(x－2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是( )
A．{－1} B．{0}
C．{1} D．{2}
解析：选BCD.因为A＝{x|x(x－2)≤0}，所以A＝[0，2]．因为A∪B＝A，所以B⊆A.由选项知有{0}A，{1}A，{2}A.故选BCD.
8．(多选)已知集合A＝{x|－1
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪∁RB＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩∁RB＝{x|2
因为∁RB＝{x|x<－2或x>2}，
所以A∪∁RB＝{x|－1
A∩∁RB＝{x|－1
解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
答案：0或3
10．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．
解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，∁U(A∪B)＝{x|0
解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．
答案：[－1，2) (－∞，3]
12．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为________．
解析：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
[B级 综合练]
13．(2021·百师联盟练习)已知实数集R，集合A＝{x|－1
解析：当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1
[C级 创新练]
15．(多选)(2021·海南海口第四中学月考)设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题正确的是( )
A．自然数集N为封闭集
B．整数集Z为封闭集
C．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
D．若S为封闭集，且1∈S，则S一定为无限集
解析：选BCD.对于A项，自然数集N不是封闭集，如2，3∈N，但2－3＝－1∉N，故A项错误；对于B项，因为任意两个整数的和、差、积仍然是整数，所以整数集是封闭集，故B项正确；对于C项，设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2，a1，a2，b1，b2∈Z，则x＋y＝a1＋a2＋(b1＋b2)∈S，x－y＝a1－a2＋(b1－b2)∈S，xy＝(a1＋b1)·(a2＋b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，所以集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集，故C项正确；对于D项，若S为封闭集，且1∈S，则1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，因此0－1＝－1∈S，以此类推，所有整数都属于S.而整数有无数个，所以S一定为无限集，故D项正确．
16．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
解析：由题意可知－2x＝x2＋x，
所以x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，
所以A∩B＝{0，6}．
答案：{0，6}
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