高中数学高考1 第1讲　 平面向量的概念及线性运算 新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·石家庄质量检测(一))在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b B.a＋b

C.a＋b D.a＋b

解析：选B.因为＝，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选B.

2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)

A．1 B.

C. D.

解析：选D.由题意易得＝＋＝＋，

所以2＝＋，即＝＋.

故λ＋μ＝＋＝.

3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)

A．k＝1且c与d同向

B．k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向

D．k＝－1且c与d反向

解析：选D.由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.因为a，b不共线，所以所以k＝λ＝－1，所以c与d反向，故选D.

4．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则的值为(　　)

A．－3 B．3

C．2 D．－2

解析：选B.因为＝＋，

＝＝(－)＝－＝×－＝－，

所以＝＋＝＋；

又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝；

所以＝×＝3.故选B.

5．(2019·辽宁丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．8

解析：选A.因为＋＋＝2＝2(－)，所以3＝－＝，所以∥，且方向相同，所以＝＝＝3，所以S△PAB＝＝2.

6．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．

解析：因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2.

答案：2

7．已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为________．

解析：设线段BC的中点为M，则＋＝2.

因为2＝＋，所以＝，

则＝＝(＋)＝＝＋.

由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.

答案：

8．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为________．

解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.

答案：3

9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.

解：＝(＋)＝a＋b.

＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.

10．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．

解：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，

＝－＝nb－ma，

＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.

由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，

即nb－ma＝λa＋λb，

则消去λ，得＋＝3.

[综合题组练]

1．(应用型)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　)

A．1　　　 B．－

C．1或－ D．－1或－

解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.

2．(应用型)(2019·安徽安庆模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A. B．－

C．2 D．－2

解析：选B.如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)．因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)·＋t.

又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，

所以λ＋μ＝－.故选B.

3．(创新型)(2019·陕西铜川质检)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于(　　)

A. B．2

C．3 D．4

解析：选B.因为＋＋＝0，所以＝－(＋)．

由平行四边形法则可知，以，为边组成的平行四边形的一条对角线与反向，且长度相等．因为||＝||＝||＝2，所以以，为边的平行四边形为菱形，且除BC外的对角线长为2，所以BC＝2，∠ABC＝90°，所以S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2，故选B.

4．(应用型)已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足＝＋λ(λ≥0)，则动点P的轨迹一定过三角形ABC的(　　)

A．内心 B．外心

C．垂心 D．重心

解析：选D.如图，AD⊥BC，由于||·sin B＝||sin C＝||，所以＝＋λ＝＋(＋)，所以－＝＝(＋)，因此点P在三角形ABC的中线所在的直线上，故动点P的轨迹一定过三角形ABC的重心．

5.(一题多解)(创新型)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若＝m，＝n，则(　　)

A．m＋n是定值，定值为2

B．2m＋n是定值，定值为3

C.＋是定值，定值为2

D.＋是定值，定值为3

解析：选D.法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由＝n可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，

因为＝m，所以m＝，

整理可得＋＝3.

法二：因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)·.

又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)·n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故选D.

6．(创新型)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，求的值．

解：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以则的值为.