2023届山西省高三上学期第一次摸底数学试题含答案

数学

一、单选题

1. ，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

由根式的性质求定义域得集合，由二次函数性质求值域得集合，应用集合交运算求结果.

【详解】

由题设或，，

所以.

故选：A.

2. 已知复数，，在复平面上对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为（    ）

A.  B. C.  D.

答案：

A

解析：

【分析】

令，结合已知有，列方程求参数，进而求复数的模.

【详解】

若，则，而，

由四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），

所以，即，则，

所以.

故选：A.

3. 已知平面向量，，满足，，与的夹角为，在方向上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据向量数量积、投影向量的定义求在方向上的投影向量.

【详解】

由在方向上的投影向量为.

故选：C.

4. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，若河流的宽度是，则此时气球的高度等于（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

在中，利用正弦定理求出，再根据气球的高度等于即可得解.

【详解】

在中，，

则,

,

因为，

所以，

所以气球的高度为.
故选：B.

5. 从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是合数的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

B

解析：

【分析】

根据至少一个合数分两类考虑：只有一个合数和两个都是合数，即可根据组合进行求解.

【详解】

区间内的整数共有个，则合数有，故至少有一个是合数的概率为

故选：B.

6. 函数在上不单调，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

对求导，根据定义域上有正有负及三角函数的性质确定参数范围.

【详解】

由，而，

要使在上不单调，则.

故选：D.

7. 水平放置等边三角形边长为，动点位于该平面上方，三棱锥的体积为，且三棱锥的外接球球心到底面的距离为，则动点的轨迹周长为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

C

解析：

【分析】

根据三棱锥的外接球球心到底面的距离为和的外接圆的半径，求得外接球的半径，再根据三棱锥的体积为，得到点到面的距离，从而得到动点的轨迹是一个截面圆的圆周，求解截面圆的半径及周长即可．

【详解】

设三棱锥的高为，

因为三棱锥的体积为，

所以，解得，

设的外接圆的半径为，

则，

因为三棱锥的外接球球心到底面的距离为，

所以外接球的半径为，

因为点到面的距离为，

所以动点的轨迹是一个截面圆的圆周，且球心到该截面的距离为，

所以截面圆的半径为，

所以动点的轨迹长度为.

故选：C.

8. 在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

答案：

D

解析：

【分析】

令为中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得轨迹为圆，求定点到所得圆上点距离的最大值，结合即可求结果.

【详解】

由，要使最大只需到中点距离最大，

又且，

令，则，整理得，

所以轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，即在圆内，

故，而，故.

故选：D.

二、多选题

9. 已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 由表格数据知，该经验回归直线必过

C. 变量，呈正相关

D. 可预测当时，约为

答案：

A、B、C

解析：

【分析】

由平均值求法及样本中心在回归直线上可得，即可判断A、B；根据回归直线系数判断C；应用回归直线估计对应，判断D.

【详解】

由题设，，则，

又，故，则，A正确；

由上知：样本中心为，回归直线必过该点，B正确；

由回归方程知：，呈正相关，C正确；

，D错误.

故选：ABC.

10. 如图，在所有棱长均为的正三棱柱中，点是棱的中点，，过点作平面与平面平行，则（    ）

A. 当时，截正三棱柱的截面面积为

B. 当时，截正三棱柱的截面面积为

C. 截正三棱柱的截面为三角形，则的取值范围为

D. 若，则截正三棱柱的截面为四边形

答案：

A、B、D

解析：

【分析】

利用平面的基本性质画出不同对应的截面图形，结合已知求它们的面积判断各选项正误.

【详解】

A：时，过作与面平行的平面，即下图面且为中点，

所以故上的高为，此时截面面积为，正确；

B：时，过作与面平行的平面，即下图面且为中点，

所以，则，故，此时截面面积为，正确；

C：由B知：时，平面与的截面也为三角形，错误；

D：若为中点，当在上（不含端点）时，即，

利用平面的基本性质画出平面与的截面如下图示：

结合上述分析：过程中，截面为四边形，正确；

故选：ABD.

11. 已知函数，则（    ）

A. 存在，使得为奇函数

B. 任意，使得直线是曲线的对称轴

C. 最小正周期与有关

D. 最小值为

答案：

A、B、C

解析：

【分析】

举例，如，即可判断A；判断与是否相等，即可判断B；距离如和，即可判断C；令，则，利用换元法结合二次函数的性质即可判断D.

【详解】

对于A，当时，，

因，所以函数为奇函数，

所以存在，使得为奇函数，故A正确；

对于B，，

因为

，

所以函数关于对称，

即任意，使得直线是曲线的对称轴，故B正确；

对于C，当时，，

最小正周期，

当时，，

因为，所以不是函数的周期，

所以最小正周期与有关，故C正确；

对于D，令，则，

则，

则有，

当，即时，，

当，即时，，

当，即时，，

所以，故D错误.

故选：ABC.

12. 已知函数，则（    ）

A. 当或时，有且仅有一个零点

B. 当或时，有且仅有一个极值点

C. 若为单调递减函数，则

D. 若与轴相切，则

答案：

A、D

解析：

【分析】

根据零点的定义可得的零点即方程的根，利用导数研究函数的性质，结合图像判断A，由导数的几何意义判断D，根据导数与函数的单调性的关系求的范围，由此判断C，结合单调性与极值的定义判断B.

【详解】

令可得，化简可得，

设，则，

当，，函数在单调递减，

当，，函数在单调递增，

又，，由此可得函数图像如下：

所以当或时，有且仅有一个零点

所以当或时，有且仅有一个零点，A对，

函数的定义域为，

，

若与轴相切，设与轴相切相切与点，

则，，

所以，

所以，，故D正确；

若为单调递减函数，则在上恒成立，

所以在上恒成立，

设，则，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

且，，当时，，

由此可得函数的图像如下：

所以若为单调递减函数，则，C错，

所以当时，函数在上没有极值点，B错，

故选：AD.

三、填空题

13. 二项式的展开式中含项的系数为，则_________．

答案：

解析：

【分析】

写出二项式展开式的通项公式，根据已知项系数求参数即可.

【详解】

由二项式展开式通项为，且项的系数为，

所以，可得.

故答案为：

14. 等差数列的前项和，则数列的通项公式为_________；的最小值为_________．

答案：   

①.     ②.

解析：

【分析】

根据与的关系求出数列的通项，再根据数列是等差数列，求出，即可求得数列的通项，再利用二次函数的性质即可求出的最小值.

【详解】

由，

当时，，

当时，，

则，

又因为数列是等差数列，

所以，所以，

所以；

则，

又，

所以当时，取得最小值.

故答案为：；.

15. ，，三个数中最小的是_________．

答案：

解析：

【分析】

将问题转化为比较、、的大小关系，应用作差法、对数的运算及对数函数性质比较大小即可.

【详解】

由，，，

所以只需比较、、的大小关系即可，

而，

则，又，

综上，最小数为，即最小.

故答案为：.

16. 已知抛物线，过点和点做两条斜率为的平行线，分别与抛物线相交于点，和点，，得到一个梯形．若存在实数，使得，则实数的取值范围为_________．

答案：

解析：

【分析】

写出直线的方程，联立抛物线方程，利用弦长公式求出、，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，求出梯形的面积，得到与的关系式，结合的范围计算即可．

【详解】

设点，、，,

代入可得：，

所以

所以，

点到直线的距离为，

，

同理可求得：，

，

，

，

，，

故答案为：．

四、解答题

17. 已知数列中，，，是公差为的等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）根据等差数列的定义求出，从而可求出的通项，再利用累加法即可求出答案；

（2）利用裂项相消法求解即可.

【详解】

（1）因为是公差为的等差数列，

所以，

即，所以，

则，所以，

则，，，

，

累加得，

所以；

(2)，

则.

18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，为上一点，，．

（1）若，求；

（2）若，当面积取最小值时，求的值．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）利用正余弦定理及三角形内角性质求；

（2）利用等面积法结合基本不等式可得面积取最小值时，再由余弦定理即可得解.

【详解】

（1）令，又，

所以，即，

则，即，

又，则，故.

（2）由三角形面积公式可得，

且，

所以，即，

即，当且仅当时，等号成立，此时面积取最小值，

此时，，

所以当面积取最小值时，.

19. 四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．

（1）证明：；

（2）若，且与平面所成角的正弦值为，点在线段上且满足，求二面角的余弦值．

答案：

见解析   

解析：

【分析】

（1）由题设可得，利用面面垂直性质可得面，再由线面垂直的性质证；

（2）若为中点，连接，首先求证，两两垂直，构建空间直角坐标系，确定相关点坐标并令且，根据线面角及向量夹角的坐标表示求参数，进而可得，再求面、面的法向量，应用向量夹角的坐标运算求二面角余弦值.

【详解】

（1）由题设，为等边三角形，则，

又四边形为梯形，，则，

在△中，，即，

面面，面面，面，则面，

又面，故.

（2）若为中点，，则，

面面，面面，面，则面，

连接，则，且面，故，

综上，，两两垂直，

构建以为原点，为轴正方向的空间直角坐标系，

所以，，，，若且，则，而面的一个法向量为，，

所以，可得，故，

所以，，，

若是面的一个法向量，则，

取，若是面的一个法向量，则，取，所以，

由图知：锐二面角的余弦值.

20. 高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：

（1）为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这名学生中随机抽取名学生，再从这人中随机抽取名进行详细调查，求这名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于小时的概率；

（2）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生数学阅读时间在小时的概率，求取最大值时对应的的值．

答案：

见解析

解析：

【分析】

(1)根据表中数据，即可知人有人阅读时间大于，由组合即可求解概率，(2)将频率视为概率则，利用二项分布概率公式及不等式法求取得最大时对应的值．

【详解】

（1）抽取的人中，周阅读时间大于小时的有人，小于等于小时的有人， 故恰有一人每周数学阅读时间大于小时的概率为

（2）周阅读时间在小时的频率为，故概率为，

则，所以，

由得：，化简得

解得，又，故，

21. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是．

（1）求椭圆的方程；

（2）过的左焦点作弦，，这两条弦的中点分别为，，若，证明：直线过定点．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）由内切圆半径与三角形面积关系、外接圆半径与弦长和弦心距关系列方程组求椭圆参数，即可得椭圆方程；

（2）讨论直线斜率都存在或一条斜率不存在，设直线方程、并联立椭圆，应用韦达定理用表示出，坐标，进而写出直线方程，即可证是否过定点.

详解】

（1）由题设，又，，

若内切圆半径为，则外接圆半径为，

所以，即，

，而，即，

综上，，即，可得，

所以，，则.

（2）当直线斜率都存在时，令为，联立，

整理得：，且，

所以，则，故，

由，即，故为，联立，

所以，有，则，

故，

所以，则为，整理得，

所以过定点；

当一条直线斜率不存在时对应，故即为x轴，也过定点；

综上，直线过定点．

22. 已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）证明：有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数；

（3）证明：存在两条直线，，使，既是曲线的切线，也是曲线的切线，且，斜率之积为．

答案：

见解析

解析：

【分析】

（1）利用导数研究的区间单调性即可，注意定义域范围；

（2）将问题转化为在上有两个零点且互为相反数，利用导数研究其零点分布，并判断零点的数量关系即可；

（3）设与都相切的直线为，切点分别为，利用导数几何意义及斜率公式可得，进一步整理得，构造且，利用导数研究其零点个数及其数量关系即可.

【详解】

（1）由题设且，

当时，，故递增，

当时，，故递增，

综上，递增区间.

（2）要证有且仅有两实根，

即证在上有两个零点，而，

所以，故上，递减；上，递增；而上，，，

所以存在使，

综上，且上，上，

所以在上递减，上递增，

，，，，

所以在上各有一个零点，为，

所以，即，故，

所以也是的零点，即，

综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数；

（3）设与都相切的直线为，切点分别为，

而，，则，且，，

所以，将代入得：，

又代入得：，整理得：，

令且，则，，

所以在上递增，而，，

故存在时，则上，上，

所以在上递减，上递增，

趋向于时趋向于正无穷，故趋向于正无穷，而，，，

所以存在两个零点，，即或，

则，故，

所以，即也是的一个零点，则，

所以，综上，存在两条直线，且斜率之积为，得证.