2022山西省怀仁市一中校高三上学期8月摸底（第一次月考）理科数学试题含答案

2021~2022学年第一学期高三毕业班第一次月考

理科数学试题

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝10}，则A∩B中元素的个数为（  ）

A.4     B.5     C.6     D.7

2. 已知，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（   ）

A．6+4  B．4+4 C．4+2 D．6+2

4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图，则下面结论中不正确的是(   )

建设前经济收入构成比例                建设后经济收入构成比例

A. 新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

5.已知点A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（  ）

A.2     B.3     C.9     D.6

6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）

A. 1.5     B. 1.2 C. 0.8      D. 0.6

7.(x＋)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(   )

A.5      B.10       C.15        D.20

8.已知a∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝(   )

A.      B.     C.     D.

9.点是边长为2的正六边形内部的一点，则的取值范围是(   ）

A．   B．  C．    D．

10. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

A.        B.       C.    D.

11. 已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）

A.       B.        C.      D.

12.  0－1周期序列在通信技术中有着重要应用。序列a1a2…an…满足a1∈{0，1}(i＝1，2，…)，且存在正整数m，使得ai＋m＝ai(i＝1，2，…)成立，则称其为0－1周期数列，并称满足ai＋m＝ai(i＝1，2，…)的最小正整数m为这个序列的周期。对于周期为m的0－1序列a1a2…an…，C(k)＝是描述其性质的重要指标。下列周期为5的0－1序列中，满足C(k)≤(k＝1，2，3，4)的序列是(    )

A．     B．     C．        D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 曲线在点处的切线方程为________．

14. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

15.已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为      

16. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0．5)，[0．5，1)，…，[4，4．5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（I）求直方图中a的值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值．

18．的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知

（I）求C；    （II）若的面积为，求的周长．

19．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．

（Ⅰ）证明AB⊥A1C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，

求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值．

20．已知椭圆的离心率为，分别为的左、右顶点．

（1）求的方程；

（2）若点在上，点在直线上，且，求△的面积．

21. 已知且，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．

23．已知函数．

（I）在图中画出的图像；

（II）求不等式的解集．

2021年高三理科数学月考一答案

一、选择题  CBDAD    CCABC   AD

二、填空题  ；     ；      ；      2

17.【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1．

∵频率=(频率/组距)*组距，∴，得．                                                                     3分

（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为，

∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：(万)．                        7分

（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2．5吨的居民人数所占百分比为：

，即的居民月均用水量小于2．5吨，

同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故，

假设月均用水量平均分布，则（吨）．        12分

18. （I）由正弦定理及得，，即，即，因为，所以，所以，

所以．                                                                   6分

（II）由余弦定理得：

∴    ∴，      ，

∴周长为                                             12分

19.【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，

∵AB=，=，∴是正三角形，

∴⊥AB，   ∵CA=CB，   ∴CE⊥AB，  

∵=E，∴AB⊥面， 

∴AB⊥；               ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，

又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，

∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，

有题设知A(1，0，0)，(0，，0)，C(0，0，)，B(－1，0，0)，则=（1，0，），==(－1，0，)，=(0，－，)，        

设=是平面的法向量，

则，即，可取=（，1，-1），

∴=，

∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为．                     ……12分

20（1）由，得，即，∴，故的方程为．4分

（2）设点的坐标为，点的坐标为，根据对称性，只需考虑的情形，此时，．∵，∴有 ①．

又∵，∴ ②．又③．

联立①、②、③，可得，或．

当时，，，∴．

同理可得，当时，．综上所述，可得的面积为．             12分

21.【详解】（1）当时，,

令得,当时，,当时，,

∴函数在上单调递增；上单调递减；              4分

（2）,设函数,

则,令，得,

在内,单调递增；在上,单调递减；

,

又，当趋近于时，趋近于0，

所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,

所以的取值范围是.                                              12分

22.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程可得，

将代入可得，即，

即曲线C的直角坐标方程为；                             5分

（2）设，设

，

，

则，即，

故P的轨迹的参数方程为（为参数）

曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，

则圆心距为，，两圆内含，

故曲线C与没有公共点.                                                      10分

23.【解析】(1)如图所示：

                             5分

(2) ，．

当，，解得或，；

当，，解得或，或；

当，，解得或，或．

综上，或或，，解集为．10分