高一开学分班选拔考试卷（测试范围：苏教版必修第一册）-高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版必修第二册）
展开高一开学分班选拔考试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：必修第一册
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数集，集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以或，所以.
故选：C
2．设命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】由题意可知，为：，.
故选：B.
3．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选：C．
4．在下列区间中，方程的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，且，且为增函数，
根据函数零点存在定理知，方程在区间内有唯一的解.
故选：B.
5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】定义域为R，
，
则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD；
又因为，则排除选项A，选B.
故选：B．
6．为了给地球减负，提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，每年的投入资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（ ）（参考数据：log101.2≈0.08，log105≈0.70）
A．2030年 B．2029年 C．2028年 D．2027年
【答案】B
【解析】设经过年后，投入的资金为y万元，则y=2000（1+20%）n，
依题意，2000（1+20%）n>10000，即1.2n>5，
即nlg1.2>lg5，即，则n=9，
所以2029年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元．
故选：.
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在R上为单调递减函数，
所以，
又因为在上为单调递增函数，
所以，即，
所以，
即，
又因为，
又因为，
，
即有
所以，
即，
所以，
即，
综上所述：.
故选：A.
8．已知函数，若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作出函数图像如图所示：
令，则可化为，
若有6个根，结合图像可知方程在上有2个不相等的实根，
不妨设，，
则，解得，
故m的取值范围为.
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．函数其中，，的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．函数的最小正周期是
C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【解析】由题意可得，，
所以，
即，
所以，
所以，
代入及可得：，
所以，
所以对于A，，故A正确；
对于B，函数的最小正周期，故B错误；
对于C，因为，故错误；
对于D，因为，取最大值，故正确.
故选：AD.
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．当，
【答案】ACD
【解析】因为，
所以，即，故A正确；
所以，，故B错误；
所以，故C正确；
当时，，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．函数的最小值为2
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为2
D．若正实数满足，则的最小值为9
【答案】ABD
【解析】对于，因为且，所以，当且仅当，即时取“”，故正确；
对于，因为，所以，
则，
当且仅当即时取“正确；
对于，因为，所以，当且仅当即时取“”，显然“”不可能成立，C错误；
对于，因为均为正数，且，
所以，当且仅当即时取“正确.
故选：ABD.
12．已知函数的定义域为，对于任意的实数，都有.且当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．对于任意的，有
C．函数在上单调递增
D．若，则不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】对于A，令，，则；
由时，得：，，A正确；
对于B，令，则；
当时，，，，
对于任意，，B正确；
对于C，设，
；
，，即，又，
，在上单调递减，C错误；
对于D，，，
则可化为：，
又在上单调递减，，即，
解得：，即不等式的解集为，D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某个函数同时符合下列条件：①是幂函数；②在上单调递减；③是偶函数.则函数解析式可以为___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】若幂函数，
则函数的定义域为且，
故为偶函数；
并且已知函数在上单调递增，在上单调递减，符合条件.
故答案为：
14．已知，则__________．
【答案】
【解析】，，
.
故答案为：.
15．已知集合，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________．
【答案】或
【解析】，，即，解得或
或
“”是“”的必要条件，，且恒成立
则或，解得或．
故答案为：或
16．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象恰有个对称中心在区间内，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】函数的周期为，
则，
则将函数的图象向右平移个周期后得到，
因为，所以，
因为所得图象恰有个对称中心在区间内，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知函数.（注：e=2.71828…是自然对数的底数）
(1)判断并证明f（x）的单调性和奇偶性；
(2)解不等式.
【解析】（1）设，则，
因为，所以，，即，，
所以在R上单调递增；
定义域为R，关于原点对称，，所以为奇函数.
（2）原不等式可整理为，因为在R上单调递增，所以不等式可整理为，即，
令，则，整理得，解得，即，，
所以不等式的解集为.
18．（12分）
已知集合，集合，集合.
(1)求的子集的个数；
(2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围．
【解析】（1）
又
,元素个数为3，则子集个数为：个.
（2）命题“，都有”是真命题,,
若
若
综上所述：
19．（12分）
已知函数
(1)求函数的单调递增区间，以及对称轴方程；
(2)若，当时，的最大值为5，最小值为－1，求实数a，b的值.
【解析】（1）由
令，解得，
即单调递增区间是；
令，解得，
即函数对称轴方程为.
（2）当时，，则，
即，又的最大值为5，最小值为—1，
则或，解得或.
20．（12分）
在城镇化的旧房改造进程中，小明家旧房拆迁拿到一套新房外加一间店面.小明准备将店面改建成超市，遇到如下问题：如图所示，一条直角走廊宽为2米，现有一转动灵活的平板车希望能自如在直角走廊运行.平板车平板面为矩形，它的宽为1米.直线分别交直线于，过墙角作于，于；请你结合所学知识帮小明解决如下问题：
(1)若平板车卡在直角走廊内，且，试将平板面的长表示为的函数；
(2)若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?
【解析】（1），，，
，
所以，
（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角，平板车的长度，
记 ，则=，
又则，
所以，所以，即，
则
记，，则，
函数
因为在上都递增，
所以在上都递增，
所以在上的单调递减；
当时取得最小值.
所以长度不能超过米
21．（12分）
已知函数，，其中.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围;
(2)设，求函数的最小值.
【解析】(1)由得，所以的取值范围;
(2)
①若即，
当时递减，且，
当时最小值为，
此时有，所以;
②若即时，
当时在时取得最小值，
当时在时取得最小值为
，
若，则，此时，
若，则，此时;
③若即，
当时在时取得最小值，
当时，递增，
此时有，所以;
综上，
22．（12分）
已知函数且是偶函数，函数且.
(1)求实数的值.
(2)当时，
①求的值域.
②若，使得恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意得，即，
所以，
则，由于不恒为，所以，故，
经检验，当时，的定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，满足题意，
所以.
（2）①由（1）及得，
由于指数函数在上单调递增，对勾函数在上单调递减，上单调递增，
所以当时，取得最小值，即，
又在上单调递增，所以，
故的值域为；
②由题意得，
因为，使得恒成立，
所以，恒成立，则恒成立，
由①易得当时，，，所以恒成立，
因为，所以在上恒成立，
令，因为，所以，则在上恒成立，即在上恒成立，
令，易知在上单调递减，所以，
所以，即.
