高中数学高考 2021届高三大题优练9 导数之虚设零点问题（文） 教师版

例1．已知函数．

（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；

（2）若函数，当时，证明：，．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1），，

由题意可知，有两个不等实根．

设，，

时，，递减；时，，递增，

所以，

时，且时，，而，

所以方程有两个不等实根，则．

（2）由已知，，易知在上是增函数，

，，

因此在上存在唯一的，使得，

当时，，递减；当时，，递增，

所以，

而，，，

所以，

所以，．

1．已知函数，设．

（1）求的极小值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）极小值为；（2）．

【解析】（1），，

由题意可知，所以，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以函数在处取得极小值，为．

（2）由（1）得．

当时，，

所以函数在上单调递增，所以，

即当时，在恒成立；

当时，，

又，

又由于在上单调递增，在上单调递减．

所以在上一定存在使得，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以在存在，使得，

所以当时，在上不恒成立，

综上所述，实数的取值范围为．

2．已知函数．

（1）当时，求函数的极大值；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）函数定义域为，当时，，

由，

令，，使，

当时，，单调递增；

当，，单调递减，

，

由，知，，，即，

故．

（2）由，，

①当时，，在上单调递减，满足题意；

②当时，，，，在区间单调递减，

，；

③当时，使，

当时，单调递增；当时，单调递减，

，不恒成立，

综上所述，实数的取值范围是．

3．已知函数，，．

（1）求单调区间；

（2）若在上恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），

由，得；由，得，

分别在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（2）令，，

则，

由（1）知在上单调递增，．

①当，即时，．

在上单调递减，，

令，得；

②，即时，存在，使，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，

，，

不能恒成立，

综上：．

4．已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求，的值；

（2）证明：．

【答案】（1），；（2）证明见解析．

【解析】（1）由切线方程可得，，

定义域为，．

所以，，解得，．

（2）等价于．

设，则．

设，

则函数在单调递增，

因为，，

所以存在唯一，使．

因为符号与符号相同，

所以当时，；当时，．

故在单调递减，在单调递增．

所以当时，取得最小值，

由，得，从而，

故，所以．

5．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）函数的单调递增区间为，递减区间为；（2）．

【解析】（1）依题意，，

令，解得；令，解得，

故函数的单调递增区间为，递减区间为．

（2）因为，故不等式化为，

令，故，

因为，

令，，

由（1）可知，当时，；当时，，

又，，，

所以在上存在唯一零点，在上存在唯一零点，

当时，；当时，；

当时，；当时，，

所以函数在和上为减函数，在和上为增函数，

所以是与中的较小者，而，

因为，故，

故，故，

综上所述，实数m的取值范围为．