高中数学高考 2021届高三大题优练10 导数之零点个数问题（文） 教师版(1)

例1．已知函数，（）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）定义域为，，

令，解得．

当时，在上恒成立，在上单调递增；

当时，若时，；若时，，

在上单调递增，在上单调递减，

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）令，则，

过点作的切线，设切点为，

则切线斜率，解得，

切线斜率，

若有两个零点，则与有两个不同的交点，如下图所示：

由图象可知：当时，与有两个不同的交点，

即若函数有两个零点，的取值范围为．

例2．已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，函数有两个零点，求正整数的最小值．

【答案】（1）；（2）正整数的最小值为．

【解析】（1）当时，，

，则，

又，在处的切线方程为，即．

（2），

当时，由，得．

①当时，在上恒成立，在上单调递增，

至多一个零点，不合题意；

②当时，若，则；若，则，

在上单调递减，在上单调递增，

．

当时，；当时，，

有两个零点，则，即，

设，则，

在上单调递减，

又，，，使得，

当时，；当时，，

的解集为，

又，正整数的最小值为．

例3．已知函数，其中．

（1）若存在唯一极值点，且极值为0，求的值；

（2）讨论在区间上的零点个数．

【答案】（1）或；（2）答案见解析．

【解析】（1）由已知，可得．

①若，则当时，恒成立，

∴在上单调递增，与存在极值点矛盾；

②若，则由，得．

∴当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴存在唯一极小值点，

∴，∴或．

（2）①当时，在上恒成立，∴在上单调递增．

∵，，

（i）当时，；

（ii）当时，，

∴，

∴由零点存在性定理，知在上有1个零点；

②当时，

∵当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴．

（i）当时，，此时在上有1个零点；

（ii）当时，，此时在上无零点；

（iii）当时，，．

（a）当，即时，在上有1个零点；

（b）当，即时，在上有2个零点；

③当时，在上恒成立，在上单调递减．

∵，，

∴在上有1个零点，

综上，当时，在上无零点；

当或或时，在上有1个零点；

当时，在上有2个零点．

1．已知函数．

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若有2个极值点，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）依题意得，，，，

则切线方程为．

（2）有2个极值点，则有2个零点（且左右异号），则在上有2解，

令，，则，

又在上单调递增，，

则当时，；当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故最小值为，则．

2．已知函数．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，，

，，

∴切线方程为，即．

（2）函数的定义域是，

令，则．

设，，

则与的图象在上有两个交点．

，令，则，

当，；当时，，

在上单调递增，在单调递减，

．

，当时，，

∴的取值范围是．

3．已知函数．

（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）证明见解析．

【解析】（1）求导：，

由已知有，即，所以，

则，

所以切点为，切线斜率，

故切线方程为．

（2）的定义域为且，

若，则当时，，故在上单调递增；

若，则当，；当，，

故在上单调递增，在上单调递减．

（3），所以，

因为在上递增，在递减，所以在上递增，

又，，

故存在唯一使得，

所以在上递减，在上递增，

又，，

所以在内存在唯一根，

由，得，

又，

故是在上的唯一零点．

综上，函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．

4．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数，若在内有且仅有一个零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为，

所以．

（ⅰ）当时，由，得，则的减区间为；

由，得或，则的增区间为和；

（ⅱ）当时，，则的增区间为；

（ⅲ）当时，由，得，则的减区间为；

由，得或，则的增区间为和．

（2），

在内有且仅有一个零点，

即关于方程在上有且仅有一个实数根．

令，，则，

令，，则，

故在上单调递减，所以，

即当时，，所以在上单调递减．

又，，则，

所以的取值范围是．

5．已知函数 (且)．

（1）当时，求函数的最值；

（2）设是的导函数，讨论函数在区间零点的个数．

【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）答案见解析．

【解析】（1）当时，，，

令，得，显然在单调递增，

当时，；当时，，

所以，在单调递减，在单调递增，

则的最小值为，无最大值．

（2），

（i）若，在恒成立，此时在没有零点．

（ii）若，，所以在单调递增．

，令，

因为，所以在单调递减，

故，所以；

，

①当时，，在没有零点；

②当时，，在有且只有1个零点，

综上所述：若或，在没有零点；

若，在有且只有1个零点．

6．已知函数，．

（1）求函数的极值；

（2）若在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）函数的定义域为，

当时，函数无极值；

当时，，

若，令，则；令，则，

所以函数在单调递增，在单调递减，

所以的极小值为，无极大值；

若，令，则；令，则，

所以函数在单调递增，在单调递减，

所以的极大值为，无极小值．

（2）令，，

当时，，所以在单调递增，

所以，所以，

由题可知：在上有且只有一个零点，

即在上有且只有一个根，

等价于在上有且只有一个根，

等价于函数与函数的图象在只有一个交点，

，

令，则，

，

当时，，所以在单调递增，

则，所以在单调递增，

则，所以在单调递增，

所以，所以．

7．已知是自然对数的底数，函数，其中．

（1）当时，若，求的单调区间；

（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围．

【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．

【解析】（1）当时，，

令，则，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2），，

所以若在上恰有三个零点等价于有三个不等的实根，

等价于方程有三个不等的实根，

设，

则与两个函数图象有三个不同的交点，

因为，

令，得，且，

当时，，单调递增且，

当时，，单调递减且，

当时，，单调递增且，

作出其图象如图所示：

当时，，

由图知当时，与的图象有三个交点，

即有三个不同的零点，

所以的取值范围是．

8．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．

【解析】（1）的定义域为，且，

当时，，此时，在上单调递增；

当时，；，

即在上单调递增，在上单调递减，

综上可知：当时，在上单调递增，

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）由（1）知当时，在上单调递增，函数至多有一个零点，不合题意；

当时，在上单调递增，在上单调递减，

，

当时，，

函数至多有一个零点，不合题意；

当时，，

由于，且，

由零点存在性定理知：在上存在唯一零点，

由于，且（由于）

由零点存在性定理知：在上存在唯一零点，

所以实数的取值范围是．