高中数学高考 2021届高三大题优练8 导数之恒成立问题（文） 教师版(1)

例1．已知，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间为；（2）．

【解析】（1）解：的定义域为，

，

令，得或．

当x变化时，，变化如下：

所以的单调递增区间为和，递减区间为．

（2）因为定义域为，的定义域为，

令()，

则，

所以当时，，为减函数；

当时，，为增函数，

所以，

则，所以，

故实数的取值范围为．

例2．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）在，单调递增，在单调递减；（2）．

【解析】（1），，

又，时，或；时，，

在，单调递增，在单调递减．

（2）∵存在使成立，

由（1）可得，

①当时，，即，

令，，，

在单调递增，在单调递减，恒成立，

即当时，不等式恒成立；

(另解：当时，在单调递减，单调递增，

．)

②当时，在单调递增，，，

，

综合①②，得．

例3．已知函数(，e为自然对数的底数)．

（1）当时，求函数的零点；

（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）0；（2）．

【解析】（1），，

设，则，

当时，，递减；当时，，递增，

所以，所以恒成立，即恒成立，

所以在上是增函数，

又，所以的零点为0．

（2）时，不等式为成立，；

时，不等式化为，

时，不等式化为．

设，则，

所以时，递减，，恒成立，；

时，递减，，恒成立，，

综上的范围是．

例4．设函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）设对于任意，且，都有恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）．

【解析】（1）易知的定义域为R，，

当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减，

的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）当，时，恒成立，

即恒成立，

设，

由题意可知，在上单调递减，

即在上恒成立，

，，

设，则，在上单调递减，

，，即．

1．已知三次函数．

（1）若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，

求出实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），，

由题意知，解得，，，

．

（2）由（1）知，令，得，

所以在和上分别单调递增，在上单调递减，

而，，，，

在区间上，，

对于区间上任意两个自变量，，

都有，．

2．已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）．

【解析】（1）当时，，所以．

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数有极小值，无极大值．

（2）因为在上恒成立，

所以在上恒成立．

当时，恒成立，此时；

当时，在上恒成立．

令，则．

由（1）知时，，即．

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，所以，

综上可知，实数的取值范围是．

3．已知函数．

（1）证明：当时，函数在区间没有零点；

（2）若时，，求的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：，

∵，∴恒成立，在上单调递增，

又，∴，都有，

∴在区间上没有零点．

（2），即，

由，得，

令，，

，

令，，

，

得在单调递减，，

从而，，单调递减；

，，单调递增，

∴，得．

4．已知点在函数(且)上．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，且在上恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）递增区间为，递减区间为在；（2）．

【解析】（1）∵(且)过点，

可得，，∴．

，，

所以，；，，

所以函数的递增区间为，递减区间为在．

（2）∵，∴，

即恒成立，即，

令，可得，

当，，函数单调递增；

当，，函数单调递减，

所以，所以．

5．已知函数，．

（1）求的单调性；

（2）若对于任意，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），

令，，在上单调递增．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增．

（2）令，

则，

，

令，，

∴在上递增，∴，

当时，，∴ ，单调递增，

∴，满足题意；

当时，，，

，，

∴当时，，单调递减，

又，此时，不合题意，

综上可得．

6．已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）证明当时，关于x的不等式恒成立．

【答案】（1）的单调递减区间为，单增区间为；（2）证明见解析．

【解析】（1），

由，得．

又，所以，

所以的单调递减区间为，函数的单增区间为．

（2）令，

所以，

因为，所以，

令，得，

所以当，；当时，，

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值，

令，

因为，又因为在是减函数，

所以当时，，即对于任意正数总有，

所以关于的不等式恒成立．

7．已知函数，当时，函数有极值．

（1）求实数b、c的值；

（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由已知当时，，

则，所以，

又因为，所以．

（2）因为存在，使得成立，

所以问题可转化为时，，

由（1）知，

①当时，，

令，得或．

时，；时，；时，，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

又，，，

所以当时，，得；

②当时，，

当时，成立；

当时，，所以；

当时，成立，所以，

综上可知：a的取值范围为．

8．已知函数．

（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的单调区间；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值集合．

【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．

【解析】（1）由题意知，且，解得，

∴．

∵的定义域为，即，

且函数在上为增函数，，

即当时，；当时，，

∴的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）（法一）且定义域为，

①当时，，此时在上单调递减，当时，，

显然不符合题意；

②当时，，不合题意；

③当时，令，得，即．

令，则，所以在上单调递增，

则存在，使得，两边同时取对数可得．

当时，，；当时，，，

∴．

令，则．

由，得；由，得，

从而，所以．

又，所以，∴，

故的取值集合为．

（法二），令，则等价于．

设，则．

①当时，，此时在上单调递减，

因为，所以不恒成立；

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

则．

令，则．

由，得；由，得，

从而，所以．

又，所以，∴，

故的取值集合为．