高考数学二轮专题大题优练10 导数虚设零点问题(2份打包，教师版+原卷版)

例1．已知函数．

（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的单调区间；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值集合．

【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．

【解析】（1）由题意知：，且，

解得，

∴．

∵的定义域为，即，

且函数在上为增函数，，

即当时，；当时，，

∴的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）（法一）且定义域为，

①当时，，此时在上单调递减，

当时，，显然不符合题意；

②当时，，不合题意；

③当时，令，得，即．

令，则，所以在上单调递增，

则存在，使得，两边同时取对数可得．

当时，，；当时，，，

∴．

令，则．

由，得；由，得，

从而，所以．

又，所以，

∴，故的取值集合为．

（法二），

令，则等价于．

设，则，

①当时，，此时在上单调递减，

因为，所以不恒成立．

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

则．

令，则．

由，得；由，得，

从而，所以．

又，所以，∴，

故的取值集合为．

1．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若恒成立，求正整数的最大值．

参考数据：．

【答案】（1）答案见解析；（2）4．

【解析】（1），因为，则，

当，即时，对恒成立，∴在上单调递减．

当，即时，令，得，

由，解得；由，解得，

所以在单调递增，在单调递减，

综上所述，当，在上单调递减；

当时，在单调递增，在单调递减．

（2）∵当时，，即对恒成立．

令，得，

令，则，

因为，所以，是增函数，

因为，

，

所以，使，

由，得，

当，，单调递减；当，，单调递增，

所以时，取得最小值，为，

所以，

又为正整数，所以，所以正整数的最大值为4．

2．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，求证：．

【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间；（2）证明见解析．

【解析】（1）函数的定义域为．

当时，，则．

记，则．

显然在上单调递减，且，

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以，即恒成立，

所以函数在上单调递减．

所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．

（2）要证，只需证．

①当时，，，，不等式显然成立；

②当时，，，由，可得，

于是原问题可转化为求证，即证．

令，则，

令，则，

易知在上单调递增，

又，，所以存在使得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，

故当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，，即，

综上，．

3．已知函数．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若当时，，求证：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1），

当，定义域为，

令，得；，得，

在上单调递增，在上单调递减；

当，定义域为，

令，得；，得，

在单调递增，在单调递减．

（2）要证，，即证，

令，

则，

设，则，

令，其中，．

当时，，此时函数单调递减；

所以，，则对任意的，，

所以，函数在上为增函数，

因为，，

由零点存在定理可知，存在，

使得，可得．

当时，，即，此时函数单调递减；

当时，，即，此时函数单调递增．

，

令，，，

则函数在时单调递减，

所以，，所以，，

因此，对任意的，，即．

4．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2），若为极值点，其中为函数的导函数．证明：．

【答案】（1）单调增区间为和，函数的单调减区间；（2）证明见解析．

【解析】（1），

∵的定义域为，∴，

由，可得或；由，可得，

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．

（2）∵，∴，

令，则，

又在时恒成立，所以在是单调增函数，

又∵，，则存在，使得，

所以在上，，单调递减，在上，，单调递增．

所以为的极值点，则，

两边取对数可得，即，

∴，

令，∴在上恒成立，

∴在上单调递减，所以，

∴．

5．已知函数．

（1）求的最值；

（2）若对恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）最小值为，无最大值；（2）．

【解析】（1），令，得；令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为，无最大值．

（2）由题知，在上恒成立，

令，则，

因为，所以．

设，易知在上单调递增．

因为，，

所以存在，使得，即．

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以，从而，

故的取值范围为．