高中数学高考 2021届高三大题优练11 导数恒成立问题 教师版

例1．已知函数满足，且曲线在处的切线方程为．

（1）求，，的值；

（2）设函数，若在上恒成立，求的最大值．

【答案】（1），，；（2）3．

【解析】（1）由已知得，

且函数的图象过点，，

则，解得，，．

（2）由（1）得．

若在上恒成立，

则在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，所以，从而可得在上恒成立．

令，则，

令，则恒成立，在上为增函数．

又，，

所以存在，使得，得，

且当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则．

又，所以，代入上式，得．

又，所以．

因为，且，所以，故的最大值为3．

例2．已知函数，为自然对数的底数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．

【解析】（1），

①当时，，

，，单调递减，

，，单调递增；

②当时，，

，，，单调递增；

，，，单调递减，

，，，单调递增；

③当时，，，单调递增；

④当时，，

，，，单调递增；

，，，单调递减；

，，，单调递增．

（2）当时，

，

令，，

令，，

是单调增函数，∴，

∴在是单调增函数，∴．

①当，即时，，∴在是单调增函数，

此时符合题意．

②当，即时，；时，，

∴ 使得，

∵，，单调递减，

∴与恒成立不符，

综上所述，．

例3．已知函数，．

（1）若函数没有极值点，求实数的取值范围；

（2）若对任意的恒成立，求实数和所满足的关系式，并求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）当时，对任意的，恒成立．

【解析】（1）因为，所以，

因为函数没有极值点，所以无解或有重根，

即无解或有重根．

①时，不满足条件；

②时，，解得或，

综上可得，函数没有极值点，则或．

（2）依题意得：对任意的，恒成立，

令，则恒成立，，

因为，所以是的极小值点，

所以，所以，

所以对任意的，恒有．

①当时，，，，矛盾；

②当时，显然有，

因为函数，

即函数的图象恒在函数图象的上方，

是函数在处的切线，

下证：，

令，，

令，解得，即在上单调递增；

令，解得，即在上单调递减，

所以，即成立，

所以，

综上所述：当时，对任意的，恒成立．

1．已知，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间为；（2）．

【解析】（1）解：的定义域为，

，

令，得或．

当x变化时，，变化如下：

所以的单调递增区间为和，递减区间为．

（2）因为定义域为，的定义域为，

令()，

则，

所以当时，，为减函数；

当时，，为增函数，

所以，则，

所以，

故实数的取值范围为．

2．已知函数．

（1）求讨论函数的单调性；

（2）若函数的图象恒在的图象的下方，求实数的取值范围．

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，不具有单调性；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）．

【解析】（1）函数的定义域是，．

当时，是常数函数，不具有单调性；

当时，对任意恒成立，故函数在上单调递增；

当时，令，得；令，得，

故函数在上单调递增，在上单调递减，

综上：当时，函数在上单调递增；

当时，不具有单调性；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）函数的图象恒在的图象的下方等价于恒成立，

即，得，即．

令，则恒成立，所以，

可知．

①当时，令，得．

所以当时，；当时，，

因此在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以；

②当时，在上恒成立；

③当时，令，得．

所以当时，；当时，，

因此在上单调递增，在上单调递减，

所以，

即，则，解得，

综上所述，实数的取值范围为．

3．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）依题意，定义域为，，

若，，函数在上单调递增；

若，当时，；当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增；

若，当时，；当时，，

故函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）令，则，，

则在上恒成立．

因为，

①当时，，，在上单调递减，

所以当时，，不合题意，舍去；

②当时，因为，所以，

所以，此时在上单调递增，，符合题意；

③当时，，

因为，，所以由，得，

此时在上单调递减，

所以当时，，不合要求，舍去，

综上所述，实数a的取值范围是．

4．已知函数，．

（1）当在点处的切线与直线平行时，求实数a的值；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），

因为，且直线的斜率为1，所以，即．

（2）由已知得对任意的恒成立，

整理得恒成立．

令，

则，

令，则．

∵，∴，

又，∴，即恒成立，

∴在上单调递增，

又，

∴当时，，即为减函数；

当时，，即为增函数，

∴，

∴．